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Pour des limites $l$ ou $l'$ qui seront toutes deux notablement plus grandes ou plus petites que ${\tfrac {n-i}{n}}$, l’intégrale relative à $u$ serait sensiblement nulle.

En désignant par $\varepsilon$ une quantité positive et très petite par rapport à $\textstyle {\sqrt {n}}$, et faisant

$l={\frac {i}{n}}-\varepsilon {\sqrt {\frac {2i(n-i)}{n^{3}}}}$,$l'={\frac {i}{n}}+\varepsilon {\sqrt {\frac {2i(n-i)}{n^{3}}}}$ ;

nous aurons de même

$\int _{0}^{1}u^{i}(1-u)^{n-i}\varphi udu={\frac {i^{i}(n-i)^{n-i}{\sqrt {2\pi i(n-i)}}}{n^{n+1}{\sqrt {n}}}}\varphi \!\left({\frac {i}{n}}\right)\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-x^{2}}dx$.

Pour des limites $l$ ou $l'$, toutes deux notablement plus grandes ou plus petites que ${\tfrac {i}{n}}$, la valeur de cette intégrale relative à $u$ serait sensiblement zéro.

Si les fractions${\tfrac {n-i}{n}}$ et ${\tfrac {i}{n}}$ diffèrent notablement l’une de l’autre, les premières des valeurs précédentes de $l$ et $l'$, différeront de même de la valeur ${\tfrac {i}{n}}$ de $u$ qui répond au maximum de ${u^{i}(1-u)^{n-i}}$, ce qui rendra sensiblement nulle l’intégrale ${\textstyle \int _{l}^{l'}u^{i}(1-u)^{n-i}\varphi udu}$ correspondante à ces limites, et, en même temps, les dernières de ces valeurs de $l$ et $l'$ différeront aussi notablement de la valeur ${\tfrac {n-i}{n}}$ de $u$ relative au maximum de ${u^{n-i}(1-u)^{i}}$, ce qui rendra aussi à très peu près zéro l’intégrale ${\textstyle \int _{l}^{l'}u^{n-i}(1-u)^{i}\varphi udu}$, qui répond aux autres limites.

(129). En substituant dans la formule (13) les valeurs approchées des intégrales qu’elle contient, et supprimant les facteurs communs au numérateur et au dénominateur, il vient

$\zeta _{i}={\frac {k\varphi \!\left({\frac {n-i}{n}}\right)}{k\varphi \!\left({\frac {n-i}{n}}\right)+(1-k)\varphi \!\left({\frac {i}{n}}\right)}}$,