Pour des limites
ou
qui seront toutes deux notablement plus grandes ou plus petites que
, l’intégrale relative à
serait sensiblement nulle.
En désignant par
une quantité positive et très petite par rapport à
, et faisant
![{\displaystyle l={\frac {i}{n}}-\varepsilon {\sqrt {\frac {2i(n-i)}{n^{3}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02582ee9eeffa8ec579feabf018e2ea789793028)
,
![{\displaystyle l'={\frac {i}{n}}+\varepsilon {\sqrt {\frac {2i(n-i)}{n^{3}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fda2a2c8b88a45a07c70796d47639f09812720c)
;
nous aurons de même
![{\displaystyle \int _{0}^{1}u^{i}(1-u)^{n-i}\varphi udu={\frac {i^{i}(n-i)^{n-i}{\sqrt {2\pi i(n-i)}}}{n^{n+1}{\sqrt {n}}}}\varphi \!\left({\frac {i}{n}}\right)\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-x^{2}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ddc93f3fc317a62fd55e68e34b95d17a9fc8dd8)
.
Pour des limites
ou
, toutes deux notablement plus grandes ou plus petites que
, la valeur de cette intégrale relative à
serait sensiblement zéro.
Si les fractions
et
diffèrent notablement l’une de l’autre, les premières des valeurs précédentes de
et
, différeront de même de la valeur
de
qui répond au maximum de
, ce qui rendra sensiblement nulle l’intégrale
correspondante à ces limites, et, en même temps, les dernières de ces valeurs de
et
différeront aussi notablement de la valeur
de
relative au maximum de
, ce qui rendra aussi à très peu près zéro l’intégrale
, qui répond aux autres limites.
(129). En substituant dans la formule (13) les valeurs approchées des intégrales qu’elle contient, et supprimant les facteurs communs au numérateur et au dénominateur, il vient
![{\displaystyle \zeta _{i}={\frac {k\varphi \!\left({\frac {n-i}{n}}\right)}{k\varphi \!\left({\frac {n-i}{n}}\right)+(1-k)\varphi \!\left({\frac {i}{n}}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/293fdaf3d14d3c223e0d3382884928fc8d4125e7)
,