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${\textstyle \int _{0}^{1}u^{n-i}(1-u)^{i}\varphi udu}$ renfermera les intégrales prises depuis ${x=-\infty }$ jusqu’à ${x=\infty }$, de la différentielle ${e^{-x^{2}}dx}$ multipliée par des puissances paires ou impaires de $x$ ; les intégrales relatives aux puissances paires auront des valeurs connues, les autres s’évanouiront ; et les nombres $i$ et ${n-i}$ étant du même ordre de grandeur que $n$, la série dont il s’agit se trouvera ordonnée suivant des quantités de l’ordre de petitesse de ${\tfrac {1}{\sqrt {n}}}$, ${\tfrac {1}{n{\sqrt {n}}}}$, ${\tfrac {1}{n^{2}{\sqrt {n}}}}$,  etc. En nous arrêtant à son premier terme, et observant que l’intégrale ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx}$ est égale à ${\sqrt {\pi }}$, nous aurons

$\int _{0}^{1}u^{n-i}(1-u)^{i}\varphi udu={\frac {i^{i}(n-i)^{n-i}{\sqrt {2\pi i(n-i)}}}{n^{n+1}{\sqrt {n}}}}\varphi \!\left({\frac {n-i}{n}}\right)$ ;

d’où l’on conclut aussi

$\int _{0}^{1}u^{i}(1-u)^{n-i}\varphi udu={\frac {i^{i}(n-i)^{n-i}{\sqrt {2\pi i(n-i)}}}{n^{n+1}{\sqrt {n}}}}\varphi \!\left({\frac {i}{n}}\right)$ ;

par la permutation des nombres $i$ et ${n-i}$.

Si l’on désigne par $\delta$ une quantité positive et très petite par rapport à $\textstyle {\sqrt {n}}$ ; que l’on fasse

$l={\frac {n-i}{n}}-\delta {\sqrt {\frac {2i(n-i)}{n^{3}}}}$,$l'={\frac {n-i}{n}}+\delta {\sqrt {\frac {2i(n-i)}{n^{3}}}}$ ;

et qu’on développe en séries les logarithmes contenus dans les expressions de $\lambda$ et $\lambda '$, on trouvera ${\lambda =-\delta }$ et ${\lambda '=\delta }$, en négligeant les termes de l’ordre de petitesse de ${\tfrac {1}{\sqrt {n}}}$. D’après cela, on aura

$\int _{l}^{l'}u^{n-i}(1-u)^{i}\varphi udu={\frac {i^{i}(n-i)^{n-i}{\sqrt {2\pi i(n-i)}}}{n^{n+1}{\sqrt {n}}}}\varphi \!\left({\frac {n-i}{n}}\right)\int _{-\delta }^{\delta }e^{-x^{2}}dx$,

aux quantités près de l’ordre de ${\tfrac {1}{n}}$. À mesure que $\delta$ augmentera, cette intégrale relative à $x$ s’approchera d’être égale à ${\sqrt {\pi }}$ ; pour qu’elle en diffère très peu, il suffira que $\delta$ soit un nombre tel que 2 ou 3.