Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/372

d’après les valeurs précédentes de $\beta$ et de $x^{2}$. Lorsque $l$ et $l'$ surpasseront $\alpha$, les valeurs de $\lambda$ et $\lambda '$ devant alors être positives, on prendra les signes supérieurs devant les radicaux ; on prendra les signes inférieurs, quand $l$ et $l'$ seront moindres que $\alpha$ ; et quand ou aura ${l<\alpha }$ et ${l'>\alpha }$, on prendra le signe supérieur devant le second radical et le signe inférieur devant le premier, afin que la valeur de $\lambda$ soit négative et que celle de $\lambda '$ soit positive.

Pour exprimer $u$ en série ordonnée suivant les puissances de $x$, soient $\gamma$, $\gamma '$, $\gamma ''$, etc., des coefficients constants, et faisons

$u=\alpha +\gamma x+\gamma 'x^{2}+\gamma ''x^{3}+{\text{etc.}}$ ;

en ayant égard aux valeurs de <math\alpha</math>, $\beta$, $x^{2}$, il en résultera

${\begin{aligned}x^{2}&={\frac {n^{3}}{2i(n-i)}}(\gamma x+\gamma 'x^{2}+\gamma ''x^{3}+{\text{etc.}})^{2}\\&+{\frac {n^{4}(n-2i)}{3i^{2}(n-i)^{2}}}(\gamma x+\gamma 'x^{2}+\gamma ''x^{3}+{\text{etc.}})^{2}+{\text{etc.}};\end{aligned}}$

en égalant les coefficients des mêmes puissances de $x$ dans les deux membres de cette équation, on en déduira les valeurs de $\gamma$, $\gamma '$, $\gamma ''$, etc., au moyen desquelles, on aura

$u=\alpha +x{\sqrt {\frac {2i(n-i)}{n^{3}}}}-{\frac {2x^{2}(n-2i)}{3n^{2}}}+{\text{etc.}}$,

et, en même temps,

$du={\sqrt {\frac {2i(n-i)}{n^{3}}}}dx-{\frac {4x(n-2i)}{3n^{2}}}dx+{\text{etc.}}$.

Si la fonction $\varphi u$ ne décroît pas très rapidement de part ou d’autre de la valeur particulière $\alpha$ de $u$, on pourra, après y avoir substitué cette valeur de $u$ en série, développer aussi $\varphi u$ suivant les puissances de ${u-\alpha }$, et par suite, suivant les puissances de $x$ ; on aura, de cette manière,

${\begin{aligned}\varphi u=\varphi \alpha &+\left[x{\sqrt {\frac {2i(n-i)}{n^{3}}}}-{\text{etc.}}\right]{\frac {d\varphi \alpha }{d\alpha }}\\&+{\frac {1}{2}}\left[x{\sqrt {\frac {2i(n-i)}{n^{3}}}}-{\text{etc.}}\right]^{2}{\frac {d^{2}\varphi \alpha }{d\alpha ^{2}}}+{\text{etc.}}\end{aligned}}$

Au moyen de ces diverses valeurs, l’expression en série de