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On pourrait généraliser ces expressions, ainsi que les formules (12) et (13), et les étendre au cas où l’on saurait qu’une partie $n'$ des $n$ jurés a été prise au hasard sur une première liste, une autre partie $n''$ sur une autre liste, etc. ; et où l’on supposerait que pour la première liste une valeur $u'$ de la chance moyenne de ne pas se tromper a une probabilité ${\varphi 'u'du'}$ ; que pour la seconde liste, ${\varphi ''u''du''}$ est la probabilité d’une valeur $u''$ de cette chance moyenne ; et ainsi de suite. Mais cette extension ne présentant ni difficulté, ni application utile, nous nous dispenserons d’écrire les formules compliquées auxquelles elle donnerait lieu.

(128). Quand $i$ et ${n-i}$ seront de très grands nombres, il faudra avoir recours à la méthode du n^o 67 pour calculer les valeurs approchées des intégrales contenues dans les formules (12), (13), (14). Je considérerai d’abord celles que renferment les formules (12) et (13).

Depuis ${u=0}$ jusqu’à ${u=1}$, le produit ${u^{n-i}(1-u)^{i}}$ n’a qu’un seul maximum ; je représenterai par $\beta$ sa valeur, et par $\alpha$ celle de $u$ à laquelle il répond ; on aura

$\alpha ={\frac {n-i}{n}}$,$\beta ={\frac {i^{i}(n-i)^{n-i}}{n^{n}}}$.

Je fais ensuite

$u^{n-i}(1-u)^{i}=\beta e^{-x^{2}}$,

ou bien, en passant aux logarithmes

$x^{2}=\log {\beta }-(n-i)\log {u}-i\log(1-u)$.

La variable $x$ croîtra continuellement depuis ${x=-\infty }$ jusqu’à ${x=\infty }$ ; les valeurs ${x=-\infty }$, ${x=0}$, ${x=\infty }$, répondront à ${u=0}$, ${u=\alpha }$, ${u=1}$ ; et les limites de l’intégrale relative à $x$ seront $\pm \infty$, quand celles qui se rapportaient à $u$ étaient zéro et l’unité. En général, si l’on appelle $\lambda$ et $\lambda '$ les limites relatives à $x$, correspondantes à des limites $l$ et $l'$ relatives à $u$, on aura

${\begin{alignedat}{2}&\lambda &{}={}&\pm {\sqrt {(n-i)\log {\frac {n-i}{ln}}+i\log {\frac {i}{(1-l')n}}}},\\&\lambda '&{}={}&\pm {\sqrt {(n-i)\log {\frac {n-i}{l'n}}+i\log {\frac {i}{(1-l')n}}}},\end{alignedat}}$