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valeur qui satisfait à la condition ${\textstyle \int _{0}^{1}\mathrm {X} dx=1}$, quelle que soit la constante $\alpha$, et dans laquelle $e$ est, à l’ordinaire, la base des logarithmes népériens. Nous aurons

$u={\frac {1}{1-e^{-\alpha }}}-{\frac {1}{\alpha }}$ ;

d’où l’on conclut qu’en faisant croître $\alpha$ depuis ${\alpha =-\infty }$ jusqu’à ${\alpha =\infty }$, la chance moyenne $u$ sera susceptible, dans ce cas, de toutes les valeurs possibles, depuis ${u=0}$ jusqu’à ${u=1}$ : pour ${\alpha =-\infty }$, ${\alpha =0}$, ${\alpha =\infty }$, on aura ${u=0}$, ${u={\tfrac {1}{2}}}$, ${u=1}$.

Si les diverses chances de ne pas se tromper doivent être renfermées entre des limites plus étroites que zéro et l’unité ; par exemple, si la chance $x$ ne doit pas s’abaisser au-dessous de ${\tfrac {1}{2}}$, et, en outre, si au-dessus de ${\tfrac {1}{2}}$, toutes ses valeurs doivent être également possibles, on prendra pour $\mathrm {X}$ une fonction discontinue, que l’on déterminera de cette manière. Je désigne par $\varepsilon$ une quantité positive et de grandeur finie, mais tout-à-fait insensible ; soit $fx$ une fonction qui varie très rapidement depuis ${x={\tfrac {1}{2}}-\varepsilon }$ jusqu’à ${x={\tfrac {1}{2}}}$, qui s’évanouisse pour toutes les valeurs de $x$, comprises depuis ${x=0}$ jusqu’à ${x={\tfrac {1}{2}}-\varepsilon }$, et qui ait pour valeur une constante donnée $g$, depuis ${x={\tfrac {1}{2}}}$ jusqu’à ${x=1}$ ; cela étant, je fais

$\mathrm {X} =fx$.

Par la nature de cette fonction $fx$, on aura

$\int _{0}^{1}\mathrm {X} dx={\frac {1}{2}}g+\int _{{\frac {1}{2}}-\varepsilon }^{\frac {1}{2}}fxdx$ ;

à cause de ${\textstyle \int _{0}^{1}\mathrm {X} dx=1}$, on aura donc

$\int _{{\frac {1}{2}}-\varepsilon }^{\frac {1}{2}}fxdx=1-{\frac {1}{2}}g$ ;

ce qui exigera que $g$ ne surpasse pas 2, puisque $fx$ ne peut avoir