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que l’on aura

$\int _{0}^{1}\mathrm {X} dx=1$,$\int _{0}^{1}x\mathrm {X} dx=1$.

La quantité positive $\mathrm {X}$ pourra être une fonction continue ou discontinue de $x$, entièrement arbitraire, pourvu qu’elle satisfasse à la première de ces équations : pour chaque expression donnée de $\mathrm {X}$, il y aura une valeur numérique de $u$, tout-à-fait déterminée ; mais à chaque valeur donnée de $u$, correspondront une infinité d’expressions différentes de $\mathrm {X}$, ou de lois différentes de probabilités.

Lorsque toutes les valeurs de $x$, depuis zéro jusqu’à l’unité, seront également possibles, la quantité $\mathrm {X}$ sera indépendante de $x$, et devra être l’unité pour satisfaire à la première des deux équations précédentes ; en vertu de la seconde, on aura alors ${u={\tfrac {1}{2}}}$. Si cette quantité $\mathrm {X}$ est croissante depuis ${x=0}$ jusqu’à ${x=1}$, de manière que la chance qu’un juré ne se trompera pas, soit elle-même d’autant plus probable qu’elle approchera davantage de la certitude ; si, de plus, $\mathrm {X}$ croît uniformément, on fera

$\mathrm {X} =\alpha x+\beta$ ;

$\alpha$ et $\beta$ étant des constantes positives. On aura alors

$\int _{0}^{1}\mathrm {X} dx={\frac {1}{2}}\alpha +\beta =1$ ;

d’où l’on tire

$\beta =1-{\frac {1}{2}}\alpha$,$\mathrm {X} =1-{\frac {1}{2}}\alpha +\alpha x$ ;

ce qui exige que l’on n’ait pas ${\alpha >2}$. Il en résultera

$u={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12}}\alpha$ ;

en sorte que la chance moyenne ne pourra par excéder ${\tfrac {2}{3}}$, ni être moindre que ${\tfrac {1}{2}}$, qui répondent à ${\alpha =2}$ et ${\alpha =0}$.

Supposons encore que $\mathrm {X}$ varie en progression géométrique, pour des accroissements égaux de $x$ ; et prenons

$\mathrm {X} ={\frac {\alpha }{e^{\alpha }-1}}e^{\alpha x}$ ;