que l’on aura
![{\displaystyle \int _{0}^{1}\mathrm {X} dx=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e30f8314b232dadcf531a09167bcb5aec4965363)
,
![{\displaystyle \int _{0}^{1}x\mathrm {X} dx=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45a8a4d70f28f53cdd400e3b8c9cd81b37a1bd03)
.
La quantité positive
pourra être une fonction continue ou discontinue de
, entièrement arbitraire, pourvu qu’elle satisfasse à la première de ces équations : pour chaque expression donnée de
, il y aura une valeur numérique de
, tout-à-fait déterminée ; mais à chaque valeur donnée de
, correspondront une infinité d’expressions différentes de
, ou de lois différentes de probabilités.
Lorsque toutes les valeurs de
, depuis zéro jusqu’à l’unité, seront également possibles, la quantité
sera indépendante de
, et devra être l’unité pour satisfaire à la première des deux équations précédentes ; en vertu de la seconde, on aura alors
. Si cette quantité
est croissante depuis
jusqu’à
, de manière que la chance qu’un juré ne se trompera pas, soit elle-même d’autant plus probable qu’elle approchera davantage de la certitude ; si, de plus,
croît uniformément, on fera
![{\displaystyle \mathrm {X} =\alpha x+\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e733a9292be8ed155eb1103ab711c1dd526190f)
;
et
étant des constantes positives. On aura alors
![{\displaystyle \int _{0}^{1}\mathrm {X} dx={\frac {1}{2}}\alpha +\beta =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d8ecb8a8a20e2dfe187eaab137598855af13a7b)
;
d’où l’on tire
![{\displaystyle \beta =1-{\frac {1}{2}}\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cd95e078010e74abed3f2b46703abd37155d484)
,
![{\displaystyle \mathrm {X} =1-{\frac {1}{2}}\alpha +\alpha x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8315e1a29b2cf7fc6b9a40bd70db43828ffbf804)
;
ce qui exige que l’on n’ait pas
. Il en résultera
![{\displaystyle u={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12}}\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d62dbffe4f4904b2e9b0222c2747fb3e9089b1c5)
;
en sorte que la chance moyenne ne pourra par excéder
, ni être moindre que
, qui répondent à
et
.
Supposons encore que
varie en progression géométrique, pour des accroissements égaux de
; et prenons
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\frac {\alpha }{e^{\alpha }-1}}e^{\alpha x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/278e89573b921e6b115df296cd46343b661309b8)
;