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Pour cela, j’observe qu’en faisant ${1-u=v}$, la quantité $\mathrm {U} _{i}$ est la somme des ${i+1}$ premiers termes du développement de ${(u+v)^{n}}$, ordonné suivant les puissances croissantes de $v$ ; elle devra donc coïncider avec la formule (8) du n^o 73, en mettant dans celle-ci, $u$, $v$, $i$, $n$, au lieu de $p$, $q$, $n$, $\mu$ ; par conséquent, d’après les formules (15) du n^o 77, nous aurons

$\left.{\begin{aligned}\mathrm {U} _{i}&={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{\theta }^{\infty }e^{-x^{2}}dx+{\frac {(n+i){\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi ni(n-i)}}}}e^{-\theta ^{2}},\\\mathrm {U} _{i}&=1-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{\theta }^{\infty }e^{-x^{2}}dx+{\frac {(n+i){\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi ni(n-i)}}}}e^{-\theta ^{2}}\;;\end{aligned}}\right\rbrace$

(11)

$\theta$ étant une quantité positive dont le carré a pour valeur

$\theta ^{2}=i\log {\frac {i}{v(n+1)}}+(n+1-i)\log {\frac {n+1-i}{u(n+1)}}$ ;

et en employant la première ou la seconde de ces deux expressions de $\mathrm {U} _{i}$, selon que ${\tfrac {v}{u}}$ surpassera le rapport ${\tfrac {i}{n+1-i}}$, ou sera moindre.

Si l’accusé a été condamné, et que toutes les majorités puissent avoir eu lieu, depuis la plus petite, de une ou deux voix, jusqu’à l’unanimité, le nombre ${n+1}$ et le rapport ${\tfrac {i}{n+1-i}}$, seront à très peu près double de $i$ et l’unité ; on devra donc employer la première ou la seconde formule (11), selon que l’on aura ${v>u}$ ou ${v<u}$ ; et si $u$ et $v$ diffèrent notablement de ${\tfrac {1}{2}}$, ou $4uv$ de l’unité, on aura, aussi à très peu près,

$\theta ^{2}=i\log {\frac {1}{4uv}}$.

Alors, puisque $i$ est un très grand nombre, la valeur de $\theta$ sera assez considérable pour rendre insensible, les intégrales et les exponentielles contenues dans les formules (11). La quantité $\mathrm {U} _{i}$ se réduira donc à l’unité ou à zéro, selon que $u$ surpassera $v$ ou sera moindre ; et comme, dans le cas que nous examinons, la somme de $\mathrm {U} _{i}$ et $\mathrm {V} _{i}$, est l’unité, exactement ou à très peu près selon que $i$ est impair ou pair, il s’ensuit