Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/332

rapport à $\textstyle {\sqrt {\mu }}$. On aura (n^o 96)

$\mathrm {R} =1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {1}{k{\sqrt {\pi \mu }}}}e^{-u^{2}}$,

(h)

pour la probabilité que les rapports ${\tfrac {m}{\mu }}$ et ${\tfrac {n}{\mu }}$ ne sortiront pas des limites

$p\mp {\frac {ku}{\sqrt {\mu }}}$,$p\pm {\frac {ku}{\sqrt {\mu }}}$ ;

ce qui coïncide avec la formule (d) dans le cas particulier des chances constantes.

8^o. Une chose quelconque A étant susceptible de toutes les valeurs comprises entre les limites ${h\mp g}$, et toutes ces valeurs étant également possibles et les seules possibles ; soit $\mathrm {P}$ la probabilité que dans un nombre quelconque $i$ d’épreuves, la somme des valeurs de A qui auront lieu, sera comprise entre des limites aussi données ${c\mp \varepsilon }$. On aura (n^o 99)

$2(2g)^{i}\mathrm {P} ={\frac {\Gamma -\Gamma _{\prime }}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots i}}$,

(i)

en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\Gamma =\pm (ih+ig-c+\varepsilon )^{i}&\mp i(ih+ig-2g-c+\varepsilon )^{i}\\&\pm {\frac {i\,{.}\,i{-}1}{1\,{.}\,2}}(ih+ig-4g-c+\varepsilon )^{i}\\&\mp {\frac {i\,{.}\,i{-}1\,{.}\,i{-}2}{1\,{.}\,2\,{.}\,3}}(ih+ig+-6g-c+\varepsilon )^{i}\\&\pm {\text{etc.}},\\\Gamma _{\prime }=\pm (ih+ig-c-\varepsilon )^{i}&\mp i(ih+ig-2g-c-\varepsilon )^{i}\\&\pm {\frac {i\,{.}\,i{-}1}{1\,{.}\,2}}(ih+ig-4g-c-\varepsilon )^{i}\\&\mp {\frac {i\,{.}\,i{-}1\,{.}\,i{-}2}{1\,{.}\,2\,{.}\,3}}(ih+ig+-6g-c-\varepsilon )^{i}\\&\pm {\text{etc.}},\\\end{aligned}}$

et prenant, dans chaque terme, le signe supérieur ou le signe inférieur, selon que la quantité qui s’y trouve élevée à la puissance $i$, est positive ou négative : $g$ et $\varepsilon$ sont des quantités positives ; $h$ et $c$ peuvent être des quantités positives ou négatives.

9^o. Quelle que soit la loi de probabilité des valeurs possibles de la