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$k$ étant une quantité positive dont le carré est

$k^{2}=n\log {\frac {n}{q(\mu +1)}}+(m+1)\log {\frac {m+1}{p(\mu +1)}}$ ;

et en employant la première ou la seconde formule selon que l’on aura ${{\tfrac {q}{p}}>{\tfrac {n}{m+1}}}$ ou ${{\tfrac {q}{p}}<{\tfrac {n}{m+1}}}$.

4^o. En appelant $\mathrm {R}$ la probabilité que E et F auront lieu dans les $\mu$ épreuves, des nombres de fois qui ne sortiront pas des limites

$\mu p\mp u{\sqrt {2\mu pq}}$,$\mu q\pm u{\sqrt {2\mu pq}}$,

où $u$ est une quantité positive et très petite par rapport à $\textstyle {\sqrt {\mu }}$, on aura (n^o 79)

$\mathrm {R} =1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {1}{\sqrt {2\pi \mu pq}}}e^{-u^{2}}$ ;

(d)

et réciproquement, si les chances $p$ et $q$ sont inconnues, et que E et F soient arrivés des nombres de fois $m$ et $n$, dans $\mu$ ou ${m+n}$ épreuves, on aura (n^o 85)

$\mathrm {R} =1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\sqrt {\frac {\mu }{2\pi mn}}}e^{-u^{2}}$,

(e)

pour la probabilité que les valeurs de $p$ et $q$ ne sortiront pas des limites

${\frac {m}{\mu }}\pm {\frac {u}{\mu }}{\sqrt {\frac {2mn}{\mu }}}$,${\frac {n}{\mu }}\mp {\frac {u}{\mu }}{\sqrt {\frac {2mn}{\mu }}}$.

5^o. Dans deux séries différentes de très grands nombres $\mu$ et $\mu '$ d’épreuves, soient $m$ et $m'$ les nombres de fois que E aura lieu ou a eu lieu, $n$ et $n'$ les nombre de fois que F arrivera ou est arrivé ; désignons par $u$ une quantité positive, très petite par rapport à $\textstyle {\sqrt {\mu }}$ et à $\textstyle {\sqrt {\mu '}}$ ;