Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/318

sera ${{\tfrac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-\theta '^{2}}d\theta '}$ ; celle de l’équation

${\frac {m'}{\mu '}}-{\frac {m}{\mu }}={\frac {\theta '{\sqrt {2m'(\mu '-m')}}}{\mu '{\sqrt {\mu '}}}}-{\frac {\theta {\sqrt {2m(\mu -m)}}}{\mu {\sqrt {\mu }}}}$,

que l’on obtient en retranchant cette valeur de $r$, de la précédente, sera donc le produit de ${{\tfrac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-\theta '^{2}}d\theta '}$ et de ${{\tfrac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-\theta ^{2}}d\theta }$ pour tous les couples de valeurs de $\theta$ et $\theta '$ ; et si l’on fait d’abord

${\begin{aligned}&{\frac {\theta '{\sqrt {2m'(\mu '-m')}}}{\mu '{\sqrt {\mu '}}}}-{\frac {\theta {\sqrt {2m(\mu -m)}}}{\mu {\sqrt {\mu }}}}={\frac {t{\sqrt {\mu ^{3}m'(\mu '-m')+\mu '^{3}m(\mu -m)}}}{\mu \mu '{\sqrt {\mu \mu '}}}},\\&d\theta '={\frac {\sqrt {\mu ^{3}m'(\mu '-m')+\mu '^{3}m(\mu -m)}}{\mu {\sqrt {\mu m'(\mu '-m')}}}}dt,\end{aligned}}$

et ensuite

${\begin{aligned}&{\frac {\theta {\sqrt {\mu ^{3}m'(\mu '-m')+\mu '^{3}m(\mu -m)}}}{\mu {\sqrt {\mu m'(\mu '-m')}}}}+{\frac {t\mu '{\sqrt {\mu 'm(\mu -m)}}}{\mu {\sqrt {\mu m'(\mu '-m')}}}}=t',\\&{\frac {\sqrt {\mu ^{3}m'(\mu '-m')+\mu '^{3}m(\mu -m)}}{\mu {\sqrt {\mu m'(\mu '-m')}}}}d\theta =dt',\end{aligned}}$

c’est-à-dire, si l’on remplace d’abord la variable $\theta '$ par $t$ sans changer $\theta$, et ensuite $\theta$ par $t'$ sans changer $t$, cette probabilité de l’équation précédente deviendra

${\frac {1}{\pi }}e^{-t^{2}-t'^{2}}dtdt'$.

Cette équation devenant, en même temps,

${\frac {m'}{\mu '}}-{\frac {m}{\mu }}={\frac {t{\sqrt {2\mu ^{3}m'(\mu '-m')+2\mu '^{3}m(\mu -m)}}}{\mu \mu '{\sqrt {\mu \mu '}}}}$,

et ne contenant plus que la variable $t$, sa probabilité totale sera l’intégrale relative à $t'$ de cette expression différentielle ; intégrale que l’on pourra étendre, sans en altérer sensiblement la valeur, depuis ${t'=-\infty }$ jusqu’à ${t'=\infty }$, ce qui donnera ${{\tfrac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-t^{2}}dt}$ ; d’où l’on