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l’on fait

$v{\sqrt {\frac {r-r^{2}}{\rho -r^{2}}}}+\theta {\sqrt {\frac {r-\rho }{\rho -r^{2}}}}=\theta _{\prime }$,${\sqrt {\frac {r-r^{2}}{\rho -r^{2}}}}dv=d\theta _{\prime }$,

les limites de l’intégrale relative à $\theta _{\prime }$ seront aussi ${\pm \infty }$ ; et en désignant par ${\zeta d\theta }$ la probabilité infiniment petite de l’expression de $r$, on aura

$\zeta d\theta ={\frac {d\theta }{\pi }}e^{-\theta ^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\theta _{\prime }^{2}}d\theta _{\prime }={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-\theta ^{2}}d\theta$.

Donc $u$ étant une quantité positive et donnée, la probabilité que la valeur inconnue de $r$ tombera entre les limites

${\frac {m}{\mu }}\mp {\frac {u{\sqrt {2m(\mu -m)}}}{\mu {\sqrt {\mu }}}}$,

coïncidera avec la quantité $\mathrm {P}$ donnée par la formule (13), puisque cette probabilité sera

$\int _{-u}^{u}\zeta d\theta ={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{u}e^{-\theta ^{2}}d\theta$.

Ainsi, $\mathrm {P}$ est la probabilité que la quantité spéciale $r$ dont s’approche indéfiniment le rapport ${\tfrac {m}{\mu }}$, à mesure que le grand nombre $\mu$ augmente encore davantage, ne diffère de ce rapport que d’une quantité comprise en les limites

${\frac {u{\sqrt {2m(\mu -m)}}}{\mu {\sqrt {\mu }}}}$,

qui ne contiennent rien d’inconnu.

Dans une seconde série composée d’un très grand nombre $\mu '$ d’épreuves, soit $m'$ le nombre de fois que l’événement E arrivera. En désignant par $\theta '$ une variable positive ou négative, mais très petite par rapport à ${\sqrt {\mu '}}$, la probabilité infiniment petite de l’équation

$r={\frac {m'}{\mu '}}-{\frac {\theta '{\sqrt {2m'(\mu '-m')}}}{\mu '{\sqrt {\mu '}}}}$,