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qui aurait $\textstyle {\sqrt {\mu \mu '}}$ pour diviseur, nous aurons

$\psi ={\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {\mu }}}\Theta -{\frac {1}{\sqrt {\mu '}}}\Theta '\right)e^{-\theta ^{2}-\theta '^{2}}d\theta d\theta '$,

pour la probabilité de l’équation précédente, relativement à chaque couple de valeurs de $\theta$ et $\theta '$.

Pour suivre ici, la même marche que dans le n^o 105, je fais

${\frac {\theta 'l'}{\sqrt {\mu '}}}-{\frac {\theta l}{\sqrt {\mu }}}={\frac {t{\sqrt {l'^{2}\mu +l^{2}\mu '}}}{\sqrt {\mu \mu '}}}$ ;

ce qui change cette équation en celle-ci :

${\frac {s'}{\mu '}}-{\frac {s}{\mu }}={\frac {t{\sqrt {l'^{2}\mu +l^{2}\mu '}}}{\sqrt {\mu \mu '}}}$.

Je remplace $\theta '$ dans $\psi$, par la nouvelle variable $t$ ; et pour cela, je fais

$\theta '={\frac {t{\sqrt {l'^{2}\mu +l^{2}\mu '}}}{l'{\sqrt {\mu }}}}+{\frac {\theta l{\sqrt {\mu '}}}{l'{\sqrt {\mu }}}}$,$d\theta '={\frac {\sqrt {l'^{2}\mu +l^{2}\mu '}}{l'{\sqrt {\mu }}}}dt$ ;

d’où il résulte

$\psi ={\frac {dtd\theta {\sqrt {l'^{2}\mu +l^{2}\mu '}}}{\pi l'{\sqrt {\mu }}}}(1-\Pi )e^{-\left({\frac {t{\sqrt {l'^{2}\mu +l^{2}\mu '}}}{l'{\sqrt {\mu }}}}+{\frac {\theta l{\sqrt {\mu '}}}{l'{\sqrt {\mu }}}}\right)^{2}-\,\theta ^{2}}$ ;

$\Pi$ étant un polynome dont chaque terme renferme une puissance impaire de $t$ ou de $\theta$. La valeur de ${{\tfrac {s'}{\mu '}}-{\tfrac {s}{\mu }}}$ ne renfermant plus que la variable $t$, sa probabilité sera l’intégrale de $\psi$ étendue à toutes les valeurs que l’on pourra donner à l’autre variable $\theta$ ; et à cause de l’exponentielle contenue dans $\psi$, cette intégrale pourra s’étendre, sans en altérer sensiblement la valeur, depuis ${\theta =-\infty }$ jusqu’à ${\theta =\infty }$. En faisant alors,

${\frac {t{\sqrt {l'^{2}\mu +l^{2}\mu '}}}{l'{\sqrt {\mu }}}}+{\frac {\theta l{\sqrt {\mu '}}}{l'{\sqrt {\mu }}}}=t'$,${\frac {\sqrt {l'^{2}\mu +l^{2}\mu '}}{l'{\sqrt {\mu }}}}dt=dt'$,