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totale sera la somme des valeurs de $\sigma$, relative à toutes les valeurs positives ou négatives que l’on peut donner à l’autre variable $v$. De plus, à raison de l’exponentielle que renferme l’expression de $\sigma$, il sera permis d’étendre cette intégrale, sans en altérer sensiblement la valeur, depuis ${v=-\infty }$ jusqu’à ${v=\infty }$. Alors, en faisant

${\frac {v{\sqrt {\alpha +\beta }}}{\sqrt {\beta }}}-{\frac {\theta {\sqrt {\alpha }}}{\sqrt {\beta }}}=\theta _{\prime }$,${\frac {dv{\sqrt {\alpha +\beta }}}{\sqrt {\beta }}}=d\theta _{\prime }$,

et désignant par $\mathrm {T'}$, ce que $\mathrm {T}$ deviendra en fonction de $\theta$ et $\theta _{\prime }$, nous aurons

$\sigma ={\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {\mu }}}\mathrm {T'} \right)e^{-\theta ^{2}-\theta _{\prime }^{2}}d\theta d\theta _{\prime }$ :

les limites de l’intégrale relative à la nouvelle variable $\theta _{\prime }$ seront encore ${\pm \infty }$ ; en représentant donc par ${\eta d\theta }$ sa valeur infiniment petite, il en résultera

$\eta d\theta ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-\theta ^{2}}d\theta -{\frac {1}{\sqrt {\pi \mu }}}\Theta e^{-\theta ^{2}}d\theta$,

pour la probabilité de l’équation (14) ; $\Theta$ étant un polynôme qui ne contient que des puissances impaires de $\theta$.

Il s’agira actuellement d’éliminer l’inconnue ${\alpha +\beta }$ de cette équation (14) ; ce qui sera possible, comme on va le voir, parce que l’expression de ${\alpha +\beta }$ se réduit à

$\alpha +\beta ={\frac {1}{2}}{\mathsf {S}}\gamma _{i}\int _{a}^{b}z^{2}\mathrm {Z} _{i}dz-{\frac {1}{2}}\left({\mathsf {S}}\gamma _{i}\int _{a}^{b}z\mathrm {Z} _{i}dz\right)^{2}$,

et se trouve indépendante de la somme ${\textstyle {\mathsf {S}}\gamma _{i}\left(\int _{a}^{b}z\mathrm {Z} _{i}dz\right)^{2}}$, qui était contenue dans chacune des quantités $\alpha$ et $\beta$.

(106). En appliquant à ${\textstyle {\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}z^{2}f_{n}zdz}$ le même raisonnement qu’à cette quantité diminuée, comme dans le numéro précédent, de ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(\int _{a}^{b}zf_{n}zdz\right)^{2}}$, et désignant par ${{\tfrac {1}{2}}\varphi }$ sa valeur moyenne, de sorte