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d’une nature quelconque, dont l’arrivée puisse être due à un nombre $\nu$ de causes distinctes, qui s’excluent mutuellement et qui sont les seules possibles. Appelons ces causes C₁, C₂, C₃,… C_$\nu$ ; soient $c_{i}$ la chance que la cause C_$i$ donnera à l’arrivée de E, quand ce sera cette cause qui interviendra, et $\gamma _{i}$ la probabilité de son intervention. La chance de E pourra varier, en conséquence, d’une épreuve à une autre : ce sera une chose susceptible de $\nu$ valeurs différentes, $c_{1},\,c_{2},\,c_{3},\ldots c_{\nu }$, dont les probabilités respectives seront $\gamma _{1},\,\gamma _{2},\,\gamma _{3},\ldots \gamma _{\nu }$, et demeureront les mêmes tant que les causes C₁, C₂, C₃,… C_$\nu$, ne changeront pas. En prenant donc cette chance pour A, il y aura la probabilité $\mathrm {P}$, donnée par la formule (13), que sa valeur moyenne, dans un très grand nombre $\mu$ d’épreuves, sera comprise entre les limites ${k\mp {\tfrac {2u{\sqrt {h}}}{\sqrt {\mu }}}}$, où l’on mettra pour $k$ et $h$, leurs premières valeurs du numéro précédent, appliquées au cas où les quantités $c_{1}$, $c_{2}$, $c_{3}$, etc., $\gamma _{1}$, $\gamma _{2}$, $\gamma _{3}$, etc., demeurent constantes pendant les épreuves ; ce qui changera ces valeurs en celles-ci :

$k=\gamma _{1}c_{1}+\gamma _{2}c_{2}+\ldots +\gamma _{\nu }c_{\nu }$,

$h={\tfrac {1}{2}}(\gamma _{1}c_{1}^{2}+\gamma _{2}c_{2}^{2}+\ldots +\gamma _{\nu }c_{\nu }^{2})-{\tfrac {1}{2}}(\gamma _{1}c_{1}+\gamma _{2}c_{2}+\ldots +\gamma _{\nu }c_{\nu })^{2}$,

et les rend, comme on voit, indépendantes du nombre $\mu$, quels que soient d’ailleurs le nombre et l’inégalité des quantités qu’elles renferment. Et comme on peut donner à $u$ une valeur peu considérable, qui rende la probabilité $\mathrm {P}$ très approchante de la certitude, il s’ensuit que la moyenne des chances de E qui auront lieu pendant la série d’épreuves, différera probablement très peu de la somme des $\nu$ produits $\gamma _{1}c_{1}$, $\gamma _{2}c_{2}$, etc., dont elle s’approchera indéfiniment à mesure que le nombre $\mu$ augmentera encore d’avantage ; ce qui est la seconde des deux propositions générales du n^o 52, qui nous restait à démontrer.

Dans deux séries composées de très grands nombres $\mu$ et $\mu '$ d’épreuves, si l’on représente par $m$ et $m'$ les nombres de fois que l’événement E arrivera, les rapports ${\tfrac {m}{\mu }}$ et ${\tfrac {m'}{\mu '}}$ s’écarteront probablement fort peu (n^o 96) des chances moyennes de E dans ces deux séries ; il est donc aussi très probable qu’ils différeront très peu de la valeur précédente de $k$,