Ce cas est celui d’un point qui doit tomber à chaque épreuve sur une droite dont la longueur est , et où l’on suppose toutes les positions de sur cette droite également probables : est alors la probabilité que dans un très grand nombre d’épreuves, la distance moyenne de au milieu de cette droite n’excédera pas la fraction de sa demi-longueur . Si devait tomber à chaque épreuve sur la surface d’un cercle du rayon , et que l’on supposât également probables toutes les distances égales du point à son centre, il est évident que la probabilité d’une distance serait proportionnelle à ; en la supposant constante pendant les épreuves, et observant que toutes les distances possibles seraient comprises entre zéro et , il faudrait prendre pour satisfaire à la condition ; de cette manière, on aurait
,
;
et serait la probabilité que dans le nombre d’épreuves, la moyenne des distances du point au centre serait comprise entre les limites
.
(103). Quoique nous ayons supposé (no 97) la chose A susceptible de toutes les valeurs comprises entre les limites et , mais inégalement probables, les formules que nous avons obtenues n’en sont pas moins applicables au cas où le nombre de valeurs possibles de A est limité ; et pour cela, il suffira de considérer comme des fonctions discontinues, les fonctions , , , etc., qui expriment les lois de probabilité des valeurs de A dans les épreuves successives.
Soient, en effet, , un nombre de valeurs de comprises entre et ; supposons que la fonction soit nulle pour toutes les valeurs de qui ne sont pas infiniment peu différentes de l’une de ces quantités ; en désignant par un infiniment petit, supposons aussi qu’on ait
,
,…
;