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ce qui donne, en ajoutant ces deux dernières équations,

$4h_{n}=\int _{a}^{b}\int _{a}^{b}(z-z')^{2}f_{n}zf_{n}z'dzdz'$.

Or, cette valeur de$h_{n}$ est évidemment positive, et ne peut pas non plus être nulle, puisque tous les éléments de l’intégrale double sont positifs ; par conséquent, il en sera de même à l’égard de la somme ${\textstyle \sum h_{n}}$, et de $h$.

Le cas le plus simple est celui d’une égale probabilité de toutes les valeurs possibles de A, pendant toute la série des épreuves. Quel que soit $n$, on aura alors

$f_{n}z={\frac {1}{b-a}}$,

afin que cette valeur constante de ${f_{n}z}$ satisfasse à la condition ${\textstyle \int _{a}^{b}f_{n}zdz=1}$ ; et il en résultera

$k_{n}=k={\frac {1}{2}}(a+b)$,$h_{n}=h={\frac {1}{6}}(a^{2}+ab+b^{2})-{\frac {1}{8}}(a+b)^{2}$.

Les limites de ${\tfrac {s}{\mu }}$ dont la probabilité est $\mathrm {P}$, seront, en conséquence,

${\frac {1}{2}}(a+b)\mp {\frac {\mu (b-a)}{\sqrt {6\mu }}}$,

et se réduiront à ${\mp {\tfrac {2\mu b}{\sqrt {6\mu }}}}$, lorsqu’on aura ${a=-b}$. En prenant, par exemple (n^o 82),

$u=$ 0,4765,

il sera également probable que la moyenne ${\tfrac {s}{\mu }}$ se trouvera comprise en dedans ou en dehors des limites (0,389) ${\tfrac {b}{\sqrt {\mu }}}$ ; et si l’on a $\mu =$ 600, il y aura un contre un à parier que ${\tfrac {s}{\mu }}$ ne s’écartera pas de zéro, d’une quantité plus grande que la fraction 0,4765/30 de $b$, à très peu près égale à (0,016)$b$.