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indéfiniment à mesure que $\mu$ augmentera de plus en plus, et serait tout-à-fait nulle si ce nombre devenait infini.

Si l’on construit une courbe plane dont $z$ et ${f_{n}z}$ soient les coordonnées courantes, elle représentera la loi de probabilité des valeurs de A dans la $n$^ième épreuve, en ce sens que l’élément ${f_{n}zdz}$ de l’aire de cette courbe sera la probabilité infiniment petite de la valeur de A exprimée par l’abscisse $z$. La courbe dont les coordonnées courantes sont $z$ et ${\textstyle {\frac {1}{\mu }}\sum f_{n}z}$ représentera de même la loi de probabilité moyenne des valeurs de A, relative à la série des $\mu$ épreuves ; l’intégrale ${\textstyle \int _{a}^{b}f_{n}zdz}$ étant l’unité, l’aire totale de cette courbe, depuis ${z=a}$ jusqu’à ${z=b}$, sera aussi l’unité ; et si l’on appelle $\zeta$ l’abscisse de son centre de gravité, on aura

$k={\frac {1}{\mu }}\sum \int _{a}^{b}zf_{n}zdz=\zeta$ ;

en sorte que cette abscisse est la quantité $k$ vers laquelle converge, dans tous les cas, la moyenne des valeurs de A. Cette quantité sera zéro toutes les fois que par la nature de la chose A, ses valeurs égales et de signes contraires seront également probables dans chaque épreuve, c’est-à-dire lorsque l’on aura ${f_{n}(-z)=f_{n}z}$, pour toutes les valeurs de $n$ et de $z$.

La constante $h$ devra être une quantité positive, pour que les limites de ${\tfrac {s}{\mu }}$ soient réelles. C’est aussi ce que l’on peut facilement vérifier. En effet, d’après ce que $h_{n}$ représente, et parce que ${\textstyle \int _{a}^{b}f_{n}z'dz'=1}$, on peut écrire

$2h_{n}=\int _{a}^{b}z^{2}f_{n}zdz\,{.}\!\int _{a}^{b}f_{n}z'dz'-\int _{a}^{b}zf_{n}zdz\,{.}\!\int _{a}^{b}z'f_{n}z'dz'$,

ou, ce qui est la même chose,

$2h_{n}=\int _{a}^{b}\int _{a}^{b}(z^{2}-zz')f_{n}zf_{n}z'dzdz'$,

ou bien encore

$2h_{n}=\int _{a}^{b}\int _{a}^{b}(z'^{2}-z'z)f_{n}z'f_{n}zdz'dz$ ;