et l’on aura en même temps
![{\displaystyle {\begin{aligned}y-cx&=(\mu k-c)x-{\frac {g\theta ^{3}}{h{\sqrt {\mu h}}}}+{\text{etc.}},\\\cos(y-cx)&=\cos(\mu k-c)x+{\frac {g\theta ^{3}}{h{\sqrt {\mu h}}}}\sin(\mu k-c)x+{\text{etc.}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/299f1f4bce705708b7945ed4143d320b160a8401)
Au moyen de ces diverses valeurs, la formule (11) devient
|
|
(12)
|
en négligeant les termes qui seraient divisés par
, et conservant
à la place de sa valeur sous les sinus et cosinus.
Si nous prenons
![{\displaystyle c=\mu k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6c854ee2971f592b47ccd6e05f0bfbca312ca5)
,
cette formule se réduira à
![{\displaystyle \mathrm {P} ={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-\theta ^{2}}\sin {\frac {\varepsilon \theta }{\sqrt {\mu h}}}{\frac {d\theta }{\theta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ed2b0ac73ab95095f221d11964e4f355030414a)
,
en supposant que le rapport de
à
ne soit pas un grand nombre, ce qui permet de réduire la valeur de
à son premier terme
. Or,
étant une constante indéterminée, on a, d’après une formule connue,
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-\theta ^{2}}\cos {\frac {\alpha \theta }{\sqrt {\mu h}}}\,d\theta ={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}e^{-{\frac {\alpha ^{2}}{4\mu h}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2c4ccefffb9d9dee2ce21e46816eecaa490aa2d)
;
en multipliant par
, et intégrant depuis
jusqu’à
, on en déduit
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-\theta ^{2}}\sin {\frac {\varepsilon \theta }{\sqrt {\mu h}}}{\frac {d\theta }{\theta }}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{\mu h}}}\int _{0}^{\varepsilon }e^{-{\frac {\alpha ^{2}}{4\mu h}}}d\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d1c18612b67821a791eae1ed2a9c9ec77fa3e11)
;
et en faisant
![{\displaystyle \alpha =2t{\sqrt {\mu h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/639f877ad3c2589f407bea55d733580df92c7f62)
,
![{\displaystyle d\alpha =2{\sqrt {\mu h}}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10ec6b9fc11a0a281f5fa009f09c29fb7ba1322b)
,
![{\displaystyle \varepsilon =2u{\sqrt {\mu h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d7d90e5ea5c832bebef6f41a3fb96920fa5902c)
,