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mettant la lettre $z$ au lieu de $z_{n}$ sous les signes $\textstyle \int$, et faisant

$\int _{a}^{b}zf_{n}zdz=k_{n}$,$\int _{a}^{b}z^{2}f_{n}zdz=k'_{n}$,$\int _{a}^{b}z^{3}f_{n}zdz=k''_{n}$, etc.,

nous aurons, en séries convergentes,

${\begin{alignedat}{2}&\rho _{n}\cos {r_{n}}&{}={}&1-{\frac {x^{2}}{1\,{.}\,2}}k'_{n}+{\frac {x^{4}}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\,{.}\,4}}k'''_{n}-{\text{etc.}},\\&\rho _{n}\sin {r_{n}}&{}={}&xk_{n}-{\frac {x^{3}}{1\,{.}\,2\,{.}\,3}}k''_{n}+{\text{etc.}}\end{alignedat}}$

En faisant aussi

${\frac {1}{2}}(k'_{n}-k_{n}^{2})=h_{n}$,${\frac {1}{6}}(k''_{n}-3k_{n}k'_{n}+2k_{n}^{3})=g_{n}$, etc.,

on déduira de ces séries

${\begin{aligned}\rho _{n}&=1-x^{2}h_{n}+x^{4}l_{n}-{\text{etc.}},\\r_{n}&=xk_{n}-x^{3}g_{n}+{\text{etc.}}\;;\end{aligned}}$

et de cette valeur de $\rho _{n}$, on déduira ensuite

$\log {\rho _{n}}=-x^{2}h_{n}+x^{4}(l_{n}-{\tfrac {1}{2}}h_{n}^{2})-{\text{etc.}}$

Faisons encore

$\textstyle \sum k_{n}=\mu k$,$\textstyle \sum h_{n}=\mu h$,$\textstyle \sum g_{n}=\mu g$,$\textstyle \sum (l_{n}-{\frac {1}{2}}h_{n}^{2})=\mu l$, etc. ;

les sommes $\textstyle \sum$ s’étendant, ici et dans tout ce qui va suivre, depuis ${n=1}$ jusqu’à ${n=\mu }$ ; nous aurons

$\log {\mathrm {Y} }=-\theta ^{2}=-x^{2}\mu h+x^{4}\mu l-{\text{etc.}}$ ;

d’où l’on tire

${\begin{aligned}x&={\frac {\theta }{\sqrt {\mu h}}}+{\frac {l\theta ^{3}}{2\mu h^{2}{\sqrt {\mu h}}}}+{\text{etc.}},\\{\frac {dx}{x}}&={\frac {d\theta }{\theta }}+{\frac {l\theta d\theta }{\mu h^{2}}}+{\text{etc.}}\;;\end{aligned}}$