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de $\rho _{n}$ est moindre que l’unité. En effet, l’expression de $\rho _{n}^{2}$ peut évidemment se changer en celle-ci :

{\begin{aligned}\rho _{n}^{2}&=\int _{a}^{b}f_{n}z\cos {xz}dz\,{.}\int _{a}^{b}f_{n}z'\cos {xz'}dz'\\&+\int _{a}^{b}f_{n}z\sin {xz}dz\,{.}\int _{a}^{b}f_{n}z'\sin {xz'}dz'\;;\end{aligned}}

laquelle est équivalente à

\rho _{n}^{2}=\int _{a}^{b}\int _{a}^{b}f_{n}zf_{n}z'\cos {x(z-z')}dzdz'

;

quantité moindre que ${\textstyle \int _{a}^{b}\int _{a}^{b}f_{n}zf_{n}z'dzdz'}$ , ou que ${\textstyle \int _{a}^{b}f_{n}zdz\,{.}\int _{a}^{b}f_{n}z'dz'}$ , pour toute valeur de $x$ différente de l’unité ; et, par conséquent, moindre que l’unité, puisqu’on doit avoir ${\textstyle \int _{a}^{b}f_{n}zdz=1}$ et ${\textstyle \int _{a}^{b}f_{n}z'dz'=1}$ .

Cela posé, le nombre $\mu$ étant très grand, il s’ensuit que dès que la variable $x$ ne sera plus très petite, le produit $\mathrm {Y}$ , égal à l’unité pour ${x=0}$ , se réduira, en général, à une très petite fraction qui serait tout-à-fait nulle si $\mu$ pouvait devenir infini. En faisant abstraction, comme dans le n^o 95, du cas particulier où $\mathrm {Y}$ convergerait vers une quantité différente de zéro^[1], nous pourrons donc ne donner à $x$ , dans l’intégrale que contient la formule (11), que de très petites valeurs, à la limite desquelles la valeur de $\mathrm {Y}$ soit insensible ; de sorte qu’en faisant

\mathrm {Y} =e^{-\theta ^{2}}

,

la variable $\theta$ pourra être supposée infinie à cette limite ; et qu’en substituant cette variable à $x$ dans l’intégration, on devra prendre zéro et l’infini pour les limites de l’intégrale relative à $\theta$ .

Pour exprimer $x$ et $dx$ au moyen de $\theta$ et $d\theta$ , je développe les valeurs précédentes de ${\rho _{n}\cos {r_{n}}}$ et ${\rho _{n}\sin {r_{n}}}$ suivant les puissances de $x$ . En

↑ Pour l’examen de ce cas particulier et des singularités qu’il présente, je renverrai à mon mémoire inséré dans la Connaissance des Tems, de 1827, et que j’ai déjà cité (n^o 60).

[1] Pour l’examen de ce cas particulier et des singularités qu’il présente, je renverrai à mon mémoire inséré dans la Connaissance des Tems, de 1827, et que j’ai déjà cité (n^o 60).

[1]