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Observons d’abord que la formule (5) peut s’écrire ainsi

$\mathrm {X} =\int _{a}^{b}e^{xz_{1}{\sqrt {-1}}}f_{1}z_{1}dz_{1}\int _{a}^{b}e^{xz_{2}{\sqrt {-1}}}f_{2}z_{2}dz_{2}\ldots \int _{a}^{b}e^{xz_{\mu }{\sqrt {-1}}}f_{\mu }z_{\mu }dz_{\mu }$.

Faisons ensuite

$\left(\int _{a}^{b}f_{n}z_{n}\cos {xz_{n}}dz_{n}\right)^{2}+\left(\int _{a}^{b}f_{n}z_{n}\sin {xz_{n}}dz_{n}\right)^{2}=\rho _{n}^{2}$ ;

il y aura un angle réel $r_{n}$, tel que l’on ait

${\frac {1}{\rho _{n}}}\int _{a}^{b}f_{n}z_{n}\cos {xz_{n}}dz_{n}=\cos {r_{n}}$,${\frac {1}{\rho _{n}}}\int _{a}^{b}f_{n}z_{n}\sin {xz_{n}}dz_{n}=\sin {r_{n}}$ ;

et si l’on fait aussi, pour abréger,

${\begin{aligned}&\rho _{1}\rho _{2}\rho _{3}\ldots \rho _{\mu }=\mathrm {Y} ,\\&r_{1}+r_{2}+r_{3}+\ldots +r_{\mu }=y,\end{aligned}}$

la valeur précédente de $\mathrm {X}$ deviendra

$\mathrm {X} =\mathrm {Y} e^{y{\sqrt {-1}}}$.

En la substituant dans la formule (4), on aura donc

$\mathrm {P} ={\frac {1}{\pi }}\!\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {Y} \cos(y{-}cx)\sin {\varepsilon x}{\frac {dx}{x}}+{\frac {\sqrt {-1}}{\pi }}\!\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {Y} \sin(y{-}cx)\sin {\varepsilon x}{\frac {dx}{x}}$ ;

et comme les éléments de la seconde intégrale sont deux à deux égaux et de signes contraires, et ceux de la première, deux à deux égaux et de mêmes signes, cette valeur de $\mathrm {P}$ se réduira à

$\mathrm {P} ={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\mathrm {Y} \cos(y-cx)\sin {\varepsilon x}{\frac {dx}{x}}$.

(11)

Pour ${x=0}$, on a ${\rho _{n}=1}$ ; et pour toute autre valeur de $x$, celle