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devra tomber entre les limites ${c\mp \varepsilon }$, sera évidemment

$\mathrm {P} =\int _{c-\varepsilon }^{c+\varepsilon }f_{\prime }zdz$.

Or, pour ${\mu =1}$, on a, d’après les formules (5) et (4),

$\mathrm {X} =\int _{a}^{b}e^{xz{\sqrt {-1}}}f_{\prime }zdz$,
$\mathrm {P} ={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{a}^{b}e^{xz{\sqrt {-1}}}f_{\prime }zdz\right)e^{-\varepsilon x{\sqrt {-1}}}\sin {\varepsilon x}\,{\frac {dx}{x}}$ ;

et en intervertissant l’ordre des intégrations relatives à $x$ et $z$, et faisant disparaître les imaginaires, cette expression de $\mathrm {P}$ pourra s’écrire ainsi

$\mathrm {P} ={\frac {1}{\pi }}\int _{a}^{b}\left[\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(c+\varepsilon -z)x}{x}}dx-\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(c-\varepsilon -z)x}{x}}dx\right]f_{\prime }zdz$.

Mais on a, comme plus haut,

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {\gamma x}}{x}}dx=\pm {\frac {1}{2}}\pi$,

selon que la constante $\gamma$ est positive ou négative ; la différence des deux intégrales relatives à $x$ sera donc nulle ou égale à $\pi$, selon que les deux quantités ${c+\varepsilon -z}$ et ${c-\varepsilon -z}$ seront de mêmes signes ou de signes contraires ; par conséquent, l’intégrale relative à $z$ se réduira à zéro pour toute valeur de $z$ qui sera, ou plus grande que ${c+\varepsilon }$, ou plus petite que ${c-\varepsilon }$ ; elle ne devra donc s’étendre qu’aux valeurs de $z$ comprises à la fois entre $a$ et $b$, et entre ${c-\varepsilon }$ et ${c+\varepsilon }$ ; et puisque nous regardons ${f_{\prime }z}$ comme nulle pour toutes les valeurs de $z$ qui tombent hors des limites $a$ et $b$, la valeur de P se réduira à l’intégrale ${f_{\prime }zdz}$, prise depuis ${z=c-\varepsilon }$ jusqu’à ${c+\varepsilon }$ ; ce qu’il s’agissait de vérifier.

(101). Lorsque $\mu$ sera un très grand nombre, on pourra, par des transformations semblables à celles du n^o 95, changer la formule (4) en une autre qui fera connaître la valeur approchée de $\mathrm {P}$.