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pour l’équation qui fera connaître la valeur de $\mathrm {P}$ sous forme finie, et qu’il s’agissait d’obtenir.

(100). Dans le cas de ${\mu =1}$, ou d’une seule observation, $\mathrm {P}$ est la probabilité que la valeur de A qui doit, par hypothèse, être comprise entre les limites données $a$ et $b$, ou ${h-g}$ et ${h+g}$, le sera, d’après l’observation, entre les limites aussi données ${c-\varepsilon }$ et ${c+\varepsilon }$. Si ces dernières limites renferment les premières, on devra donc avoir ${\mathrm {P} =1}$ ; si, au contraire, ce sont les dernières limites qui sont renfermées dans les premières, $\mathrm {P}$ devra être le rapport de l’intervalle $2\varepsilon$ des dernières à l’intervalle $2g$ des premières ; si les dernières limites tombent toutes deux en dehors de l’intervalle des premières, il faudra qu’on ait ${\mathrm {P} =0}$ ; si ${c-\varepsilon }$ tombe dans l’intervalle de ${h-g}$ et ${h+g}$, et ${c+\varepsilon }$ en dehors, $\mathrm {P}$ devra être le rapport de l’excès de ${h+g}$ sur ${c-\varepsilon }$ à l’intervalle $2g$ ; et enfin, si c’est ${c+\varepsilon }$ qui tombe dans l’intervalle de ${h-g}$ et ${h+g}$, et ${c-\varepsilon }$ en dehors, il faudra que $\mathrm {P}$ soit le rapport de l’excès de ${c+\varepsilon }$ sur ${h-g}$ à l’intervalle $2g$. Ces cinq valeurs différentes de $\mathrm {P}$, savoir :

$\mathrm {P} =1$,$\mathrm {P} ={\frac {\varepsilon }{g}}$,$\mathrm {P} =0$,$\mathrm {P} ={\frac {h+g-c+\varepsilon }{2g}}$,$\mathrm {P} ={\frac {c+\varepsilon -h+g}{2g}}$,

se déduisent effectivement de l’équation (10), qui donne

$\mathrm {P} ={\frac {1}{4g}}(\Gamma -\Gamma _{\prime })$,

pour ${\mu =1}$. On aura, en même temps, ${\gamma =h-c}$, et par suite

${\begin{alignedat}{2}&\Gamma &{}={}&\pm (h+g-c+\varepsilon )\mp (h-g-c+\varepsilon ),\\&\Gamma _{\prime }&{}={}&\pm (h+g-c-\varepsilon )\mp (h-g-c-\varepsilon ),\\\end{alignedat}}$

Dans le premier des cinq cas qu’on vient d’énoncer, on aura ${c+\varepsilon >h+g}$ et ${c-\varepsilon <h-g}$ ; les quantités comprises entre les parenthèses seront positives dans $\Gamma$ et négatives dans $\Gamma _{\prime }$ ; il faudra, en conséquence, prendre les signes supérieurs dans $\Gamma$ et les signes inférieurs dans $\Gamma _{\prime }$ ; et il en résultera

$\Gamma =2g$,$\Gamma _{\prime }=-2g$,$\mathrm {P} =1$.