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celles qui s’en déduisent en y mettant $u'$ et $v'$ au lieu de $u$ et $v$, ont donc aussi des valeurs finies ; par conséquent, la remarque relative à l’équation (8) ne s’applique plus aux équations (9). Or, en mettant ${\tfrac {x}{\alpha }}$ et ${\tfrac {dx}{\alpha }}$ à la place de $x$ et $dx$, dans les intégrales qui répondent à $u'$ et $v'$, nous aurons

$\int _{0}^{\infty }{\frac {u'dx}{x^{2}}}=\alpha \int _{0}^{\infty }{\frac {udx}{x^{2}}}$,$\int _{0}^{\infty }{\frac {v'dx}{x^{2}}}=\alpha \int _{0}^{\infty }{\frac {vdx}{x^{2}}}$ ;

au moyen de quoi et des formules précédentes, les équations (9) se changent en celles-ci :

${\begin{aligned}&{\frac {4}{\pi }}\left[2^{\mu }\int _{0}^{\infty }\sin ^{\mu }gx\,\cos {\gamma x}\,\sin {\varepsilon x}\,{\frac {dx}{x^{\mu +1}}}+(-1)^{{\frac {1}{2}}\mu }\mathrm {F} \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{\mu +1}}}\right]={\frac {\Gamma -\Gamma _{\prime }}{1{.}2{.}3\!\ldots \!\mu }},\\&{\frac {4}{\pi }}\left[2^{\mu }\int _{0}^{\infty }\sin ^{\mu }gx\,\cos {\gamma x}\,\sin {\varepsilon x}\,{\frac {dx}{x^{\mu +1}}}+(-1)^{{\frac {1}{2}}(\mu -1)}\mathrm {F'} \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{\mu +1}}}\right]={\frac {\Gamma -\Gamma _{\prime }}{1{.}2{.}3\!\ldots \!\mu }}.\end{aligned}}$

Mais l’intégrale ${\textstyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{\mu +1}}}}$ étant infinie, ces dernières équations ne pourraient pas subsister, si les constantes $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F'}$ n’étaient pas nulles ; il faut donc qu’on ait identiquement ${\mathrm {F} =0}$ et ${\mathrm {F'} =0}$ ; ce qu’on pourrait d’ailleurs vérifier, si cela était nécessaire. Cela étant, les deux dernières équations se réduiront à une seule, savoir :

${\frac {4}{\pi }}\,{.}\,2^{\mu }\int _{0}^{\infty }\sin ^{\mu }gx\,\cos {\gamma x}\,\sin {\varepsilon x}\,{\frac {dx}{x^{\mu +1}}}={\frac {\Gamma -\Gamma _{\prime }}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots \mu }}$,

qui aura lieu pour les deux cas de $\mu$ pair et de $\mu$ impair ; et si l’on y fait

$\gamma =\mu h-c$,

et qu’on ait égard à la formule (6), on en conclura finalement

$2(2g)^{\mu }\mathrm {P} ={\frac {\Gamma -\Gamma _{\prime }}{1{.}2{.}3\!\ldots \!\mu }}$,

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