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$\mathrm {F}$ et $\mathrm {F'}$ étant encore des constantes différentes de $\mathrm {E}$ et $\mathrm {E'}$. On a fait, dans ces dernières équations,

${\begin{aligned}\Gamma =\pm (\gamma +\mu g+\varepsilon )^{\mu }&\mp \mu (\gamma +\mu g-2g+\varepsilon )^{\mu }\\&\pm {\frac {\mu \,{.}\,\mu -1}{1\,{.}\,2}}(\gamma +\mu g-4g+\varepsilon )^{\mu }\\&\mp {\frac {\mu \,{.}\,\mu -1\,{.}\,\mu -2}{1\,{.}\,2\,{.}\,3}}(\gamma +\mu g-6g+\varepsilon )^{\mu }+{\text{etc.}}\;;\\\end{aligned}}$

et l’on a désigné par $\Gamma '$, ce que $\Gamma$ devient quand on y change le signe de $g$, et par $\Gamma _{\prime }$ et $\Gamma '_{\prime }$, ce que deviennent $\Gamma$ et $\Gamma '$ par le changement du signe de $\varepsilon$. Or, en renversant l’ordre des termes de $\Gamma '$ et $\Gamma '_{\prime }$, qui sont en nombre fini, il est facile de voir que l’on a ${\Gamma '=\Gamma }$ et ${\Gamma '_{\prime }=\Gamma _{\prime }}$ quand $\mu$ est pair, ${\Gamma '=-\Gamma }$ et ${\Gamma '_{\prime }=-\Gamma _{\prime }}$ quand $\mu$ est impair ; au moyen de quoi les équations précédentes deviennent plus simplement

$\left.{\begin{aligned}{\frac {4}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[u-u'+{\frac {(1-\alpha )\mathrm {F} }{x^{\mu -1}}}\right]{\frac {dx}{x^{2}}}&={\frac {(1-\alpha )(-1)^{{\frac {1}{2}}\mu }(\Gamma -\Gamma _{\prime })}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots \mu }},\\{\frac {4}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[v-v'+{\frac {(1-\alpha )\mathrm {F'} }{x^{\mu -1}}}\right]\!{\frac {dx}{x^{2}}}&={\frac {(1-\alpha )(-1)^{{\frac {1}{2}}(\mu -1)}(\Gamma -\Gamma _{\prime })}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots \mu }}.\end{aligned}}\right\rbrace$

(9)

Dans chacune des deux quantités $\Gamma$ et $\Gamma _{\prime }$ que ces équations renferment, on devra, d’après l’origine des doubles signes de leurs différents termes, prendre le signe supérieur ou le signe inférieur d’un terme quelconque, selon que la quantité qui s’y trouve élevée à la puissance $\mu$ sera positive ou négative.

Maintenant, en vertu des équations (7), on a

${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {udx}{x^{2}}}&=(-1)^{{\frac {1}{2}}\mu }2^{\mu }\int _{0}^{\infty }\sin ^{\mu }gx\,\cos {\gamma x}\,\sin {\varepsilon x}\,{\frac {dx}{x^{\mu +1}}},\\\int _{0}^{\infty }{\frac {vdx}{x^{2}}}&=(-1)^{{\frac {1}{2}}(\mu -1)}2^{\mu }\int _{0}^{\infty }\sin ^{\mu }gx\,\cos {\gamma x}\,\sin {\varepsilon x}\,{\frac {dx}{x^{\mu +1}}}.\end{aligned}}$

Les intégrales contenues dans les seconds membres de ces équations sont des quantités finies ; les intégrales ${\textstyle \int _{0}^{\infty }{\frac {udx}{x^{2}}}}$ et ${\textstyle \int _{0}^{\infty }{\frac {vdx}{x^{2}}}}$, et par suite,