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dans la seconde, il vient

${\begin{aligned}&{\frac {8}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\cos(\mu -2n)gx{\cos }\gamma x{\sin }\varepsilon x-{\frac {{\cos }\alpha (\mu -2n)gx{\cos }\alpha \gamma x{\sin }\alpha \varepsilon x}{\alpha ^{\mu -1}}}+(1-\alpha )\mathrm {E} \right]{\frac {dx}{x^{\mu +1}}}\\&\qquad =\pm {\frac {(1-\alpha )(-1)^{{\frac {1}{2}}\mu }}{1.2.3\!\ldots \!\mu }}[\pm (\gamma +\mu g-2ng+\varepsilon )^{\mu }\pm (\gamma -\mu g+2ng+\varepsilon )^{\mu }\\&\qquad \mp (\gamma +\mu g-2ng-\varepsilon )^{\mu }\mp (\gamma -\mu g+2ng-\varepsilon )^{\mu }],\\[1em]&{\frac {8}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\sin(\mu -2n)gx{\cos }\gamma x{\sin }\varepsilon x-{\frac {{\sin }\alpha (\mu -2n)gx{\cos }\alpha \gamma x{\sin }\alpha \varepsilon x}{\alpha ^{\mu -1}}}+(1-\alpha )\mathrm {E'} \right]{\frac {dx}{x^{\mu +1}}}\\&\qquad =\pm {\frac {(1-\alpha )(-1)^{{\frac {1}{2}}(\mu -1)}}{1.2.3\!\ldots \!\mu }}[\pm (\gamma +\mu g-2ng+\varepsilon )^{\mu }\mp (\gamma -\mu g+2ng+\varepsilon )^{\mu }\\&\qquad \mp (\gamma +\mu g-2ng-\varepsilon )^{\mu }\pm (\gamma -\mu g+2ng-\varepsilon )^{\mu }]\;;\end{aligned}}$

$\mathrm {E}$ et $\mathrm {E'}$ désignant aussi des constantes différentes de $\mathrm {D}$ et $\mathrm {D'}$. En donnant à $n$ les valeurs successives 0, 1, 2, 3, etc. ; faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}u&=\left[\cos {\mu gx}-\mu \cos {(\mu -2)gx}+{\frac {\mu \,{.}\,\mu {-}1}{1\,{.}\,2}}\cos {(\mu -4)gx}\right.\\&\left.{}-{\frac {\mu \,{.}\,\mu {-}1\,{.}\,\mu {-}2}{1\,{.}\,2\,{.}\,3}}\cos {(\mu -6)gx}+{\text{etc.}}\right]{\frac {\cos {\gamma x}\,\sin {\varepsilon x}}{x^{\mu -1}}}\;;\\v&=\left[\sin {\mu gx}-\mu \sin {(\mu -2)gx}+{\frac {\mu \,{.}\,\mu {-}1}{1\,{.}\,2}}\sin {(\mu -4)gx}\right.\\&\left.{}-{\frac {\mu \,{.}\,\mu {-}1\,{.}\,\mu {-}2}{1\,{.}\,2\,{.}\,3}}\sin {(\mu -6)gx}+{\text{etc.}}\right]{\frac {\cos {\gamma x}\,\sin {\varepsilon x}}{x^{\mu -1}}}\;;\end{aligned}}$

et désignant par $u'$ et $v'$ ce que deviennent $u$ et $v$, quand on y change $x$ en $\alpha x$, on déduit des équations précédentes

${\begin{aligned}{\frac {8}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[u-u'+{\frac {(1{-}\alpha )\mathrm {F} }{x^{\mu -1}}}\right]\,\!\!{\frac {dx}{x^{2}}}&={\frac {(1{-}\alpha )(-1)^{{\frac {1}{2}}\mu }}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots \mu }}(\Gamma {+}\Gamma '{-}\Gamma _{\prime }{-}\Gamma '_{\prime }),\\{\frac {8}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[v-v'+{\frac {(1{-}\alpha )\mathrm {F'} }{x^{\mu -1}}}\right]\!\!{\frac {dx}{x^{2}}}&={\frac {(1{-}\alpha )(-1)^{{\frac {1}{2}}(\mu -1)}}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots \mu }}(\Gamma {-}\Gamma '{-}\Gamma _{\prime }{+}\Gamma '_{\prime })\;;\end{aligned}}$