, il en résultera
|
.
|
(8)
|
Cette équation subsistera évidemment pour
, quoique celle dont elle est déduite n’ait pas lieu dans ce cas particulier. Son premier membre est la différence des deux intégrales
et
, dont chacune a une valeur infinie. Pour cette raison, il n’est pas permis de les considérer isolément, et de changer la variable
dans l’une, sans la changer dans l’autre. Ainsi, en mettant
et
à la place de
et
dans la première, elle deviendrait
; et en divisant les deux membres de l’équation précédente par
, on aurait
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos {\gamma x}\,{\frac {dx}{x^{2}}}=\mp {\frac {1}{2}}\pi \gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e1e534357a2d729e8b995d010770be465e08cf0)
;
ce qui serait absurde. La même remarque s’applique à toute intégrale, comme le premier membre de l’équation (8), qui a une valeur finie, résultante de la différence de deux intégrales infinies.
Je multiplie cette équation (8) par
; puis j’intègre ses deux membres, en assujétissant leurs intégrales à s’évanouir quand
; ce qui donne
![{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left(\sin {\gamma x}-{\frac {\sin {\alpha \gamma x}}{\alpha }}\right){\frac {dx}{x^{3}}}=\mp (1-\alpha ){\frac {\gamma ^{2}}{1\,{.}\,2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0960b14739d386fe87c46368f1c4370489f91561)
.
En intégrant une seconde fois de la même manière, il vient
![{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left(\cos {\gamma x}-{\frac {\cos {\alpha \gamma x}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {1-\alpha ^{2}}{\alpha ^{2}}}\right){\frac {dx}{x^{4}}}=\pm (1-\alpha ){\frac {\gamma ^{3}}{1\,{.}\,2\,{.}\,3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51531269db887be3ef058e00020e5aa08a08af71)
;