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Pour simplifier cette formule, je supposerai que $\omega$ soit un infiniment petit ; je prendrai, en même temps, pour $i$ et $i'$ des nombres infinis ; et je ferai

$i\omega =c-\varepsilon$, $i'\omega =c+\varepsilon$, $\theta =\omega x$, $d\theta =\omega dx$ ;

$c$ et $\varepsilon$ étant des constantes données, dont la seconde sera positive, afin qu’on ait ${i'>i}$, comme le suppose l’expression de $\mathrm {P}$. Les limites de l’intégrale relative à la nouvelle variable $x$ seront ${\pm \infty }$. On aura ${\sin {{\tfrac {1}{2}}\theta }={\tfrac {1}{2}}\omega x}$ ; et en négligeant ${\pm {\tfrac {1}{2}}}$ par rapport à $i$ et à $i'$, cette valeur de $\mathrm {P}$ deviendra

$\mathrm {P} ={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {X} e^{-cx{\sqrt {-1}}}\sin {\varepsilon x}\,{\frac {dx}{x}}$.

(4)

Les valeurs possibles de A croissant actuellement par degrés infiniment petits, il faudra supposer leur nombre infini, et la probabilité de chacune d’elles infiniment petite ; en désignant par $a$ et $b$ des constantes données, et par $z$ une variable continue, on fera donc

$\alpha \omega =a$,$\beta \omega =b$,$n\omega =z$ ;

on aura, en même temps,

$t^{n\omega }=e^{xz{\sqrt {-1}}}$ ;

et l’on fera aussi

$\mathrm {N} _{1}=\omega f_{1}z$,$\mathrm {N} _{2}=\omega f_{2}z$,$\mathrm {N} _{3}=\omega f_{3}z$, etc.

Chacune des sommes $\textstyle \sum$ contenues dans $\mathrm {X}$ se changera en une intégrale définie, dont $a$ et $b$ seront les limites ; et en prenant $\omega$ pour la différentielle de $z$, on en conclura

$\mathrm {X} =\int _{a}^{b}e^{xz{\sqrt {-1}}}f_{1}zdz\,{.}\int _{a}^{b}e^{xz{\sqrt {-1}}}f_{2}zdz\ldots \int _{a}^{b}e^{xz{\sqrt {-1}}}f_{\mu }zdz$,

(5)

pour le produit de $\mu$ facteurs qu’on devra substituer dans la formule (4) à la place de $\mathrm {X}$.

(98). Cette formule exprimera la probabilité que dans le nombre $\mu$