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qui répond à ${\theta =0}$ ; nous aurons

$\mathrm {R} ={\frac {1}{k{\sqrt {\pi \mu }}}}+{\frac {2}{k{\sqrt {\pi \mu }}}}{\textstyle \sum e^{-t^{2}}}$,

pour la probabilité que les nombres $m$ et $n$ seront compris entre les limites

${p\mu \mp uk{\sqrt {\mu }}}$,${q\mu \pm uk{\sqrt {\mu }}}$,

ou égaux à l’une d’elles.

La somme $\textstyle \sum$ se rapportera aux valeurs de $t$ comprises depuis ${t=\delta }$ jusqu’à ${t=u}$, et croissantes par des différences égales à $\delta$ ; mais ou pourra la remplacer par la différence des sommes de $e^{-t^{2}}$, prises depuis ${t=\delta }$ jusqu’à ${t=\infty }$, et depuis ${t=u+\delta }$ jusqu’à ${t=\infty }$. Au moyen de la formule d’Euler, déjà employée dans le n^o 91, cette dernière somme, multipliée par $\delta$, aura pour valeur,

$\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt-{\frac {\delta }{2}}e^{-u^{2}}$,

au degré d’approximation où nous devons nous arrêter, c’est-à-dire en négligeant le carré de $\delta$. Si l’on y fait ${u=0}$, on aura aussi

${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}-{\tfrac {1}{2}}\delta$,

pour la somme étendue depuis ${t=\delta }$ jusqu’à ${t=\infty }$ et multipliée par $\delta$. Par conséquent, si l’on retranche de cette dernière quantité la précédente, et qu’on divise par $\delta$, on aura

${\textstyle \sum e^{-t^{2}}}={\frac {1}{2\delta }}{\sqrt {\pi }}-{\frac {1}{\delta }}\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}e^{-u^{2}}$,

pour la somme comprise dans l’expression de $\mathrm {R}$ ; et en ayant égard à la valeur de $\delta$, cette expression deviendra

$\mathrm {R} =1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {1}{k{\sqrt {\pi \mu }}}}e^{-u^{2}}$.

(3)

Lorsque les chances $p_{i}$ et $q_{i}$ sont constantes et conséquemment égales aux moyennes $p$ et $q$, on a ${k={\sqrt {2pq}}}$ ; ce qui fait coïncider cette formule (3), et les limites précédentes de $m$ et $n$, avec