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mule (1), et j’y mets ${{\tfrac {1}{\sqrt {\mu }}}dz}$ au lieu de $dx$ ; il vient

$\mathrm {U} ={\frac {2}{\pi {\sqrt {\mu }}}}\left[\int e^{-k^{2}z^{2}}\cos(zg{\sqrt {\mu }})dz-{\frac {h}{\sqrt {\mu }}}\int e^{-k^{2}z^{2}}z^{3}\sin(zg{\sqrt {\mu }})dz\right]$.

Le cas où les valeurs de $p_{i}$ et $q_{i}$ décroîtraient indéfiniment ayant été exclu, $k^{2}$ ne peut être une très petite quantité ; pour des valeurs de $z$ comparables à ${\sqrt {\mu }}$, l’exponentielle $e^{-k^{2}z^{2}}$ sera donc insensible ; et quoiqu’on ne doive donner à cette variable que des valeurs très petites par rapport à $\textstyle {\sqrt {\mu }}$, on pourra maintenant, sans altérer sensiblement l’intégrale, l’étendre au-delà de cette limite, et la prendre, si l’on veut, depuis ${z=0}$ jusqu’à ${z=\infty }$. D’après une formule connue, on aura alors

$\int _{0}^{\infty }e^{-k^{2}z^{2}}(\cos {zg{\sqrt {\mu }}})dz={\frac {\sqrt {\pi }}{2k}}e^{-{\frac {\mu g^{2}}{4k^{2}}}}$ ;

en différentiant successivement par rapport à $g$ et à $k$, on en déduit

$\int _{0}^{\infty }e^{-k^{2}z^{2}}z^{3}(\sin {zg{\sqrt {\mu }}})dz={\frac {g{\sqrt {\pi \mu }}}{8k^{5}}}\left(3+{\frac {\mu g}{2k^{2}}}\right)e^{-{\frac {\mu g^{2}}{4k^{2}}}}$ ;

et au moyen de ces valeurs, celle de $\mathrm {U}$ devient

$\mathrm {U} ={\frac {1}{k{\sqrt {\pi \mu }}}}e^{-{\frac {\mu g^{2}}{4k^{2}}}}-{\frac {gh}{4k^{5}{\sqrt {\pi \mu }}}}\left(3+{\frac {\mu g}{2k^{2}}}\right)e^{-{\frac {\mu g^{2}}{4k^{2}}}}$.

À raison de l’exponentielle $e^{-{\frac {\mu g^{2}}{4k^{2}}}}$, cette probabilité sera insensible dès que $g$ ne sera pas de l’ordre de la fraction ${\tfrac {1}{\sqrt {\mu }}}$ ; mais à cause de ${p+q=1}$ et ${m+n=\mu }$, cette quantité $g$ ne peut être de cet ordre de petitesse, à moins que cela n’ait lieu séparément pour ${p-{\tfrac {m}{\mu }}}$ et ${q-{\tfrac {n}{\mu }}}$, qui sont d’ailleurs des quantités égales et de signes contraires ; si donc