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que l’on considère la nouvelle variable $z$ comme une quantité très petite par rapport à $\textstyle {\sqrt {\mu }}$, et qu’on néglige les quantités de l’ordre de petitesse de ${\tfrac {1}{\mu }}$, il en résultera

$\mathrm {Y} =e^{-k^{2}z^{2}}$.

D’après les valeurs de $\rho _{i}$ et de $\sin {r_{i}}$, on aura de même

$r_{i}=(p_{i}-q_{i})x+{\tfrac {4}{3}}(p_{i}-q_{i})p_{i}q_{i}x^{3}+{\text{etc.}}$

Je désignerai par $p$ et $q$ les chances moyennes de E et F pendant toute la série des épreuves, de sorte qu’on ait

$p={\frac {1}{\mu }}{\textstyle \sum p_{i}}$,$q={\frac {1}{\mu }}{\textstyle \sum q_{i}}$,$p+q=1$ ;

la somme $\textstyle \sum$ s’étendant toujours depuis ${i=1}$ jusqu’à ${i=\mu }$. Je ferai aussi, pour abréger,

${\frac {4}{3\mu }}{\textstyle \sum (p_{i}-q_{i})p_{i}q_{i}}=h$.

En conservant seulement les quantités de l’ordre de petitesse de ${\tfrac {1}{\sqrt {\mu }}}$, on en déduira d’abord

$y=z(p-q){\sqrt {\mu }}+{\frac {z^{3}h}{\sqrt {\mu }}}$,

et ensuite

$\cos[y-(m-n)x]=\cos(zg{\sqrt {\mu }})-{\frac {z^{3}h}{\sqrt {\mu }}}\sin(zg{\sqrt {\mu }})$,

où l’on fait, pour abréger,

$p-{\frac {m}{\mu }}-\left(q-{\frac {n}{\mu }}\right)=g$.

Je substitue ces valeurs de $\mathrm {Y}$ et $\cos[y-(m-n)x]$ dans la for-