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le produit désigné par $\mathrm {X}$ deviendra

$\mathrm {X} =\mathrm {Y} e^{y{\sqrt {-1}}}$ ;

et nous aurons, en conséquence,

$\mathrm {U} ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\mathrm {Y} \cos[y{-}(m{-}n)x]\,dx+{\frac {\sqrt {-1}}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\mathrm {Y} \sin[y{-}(m{-}n)x]\,dx$.

Pour des valeurs de $x$ égales et de signes contraires, les valeurs de $r_{i}$ le seront aussi, et celles de $\rho _{i}$ seront égales ; par conséquent, la seconde intégrale définie s’évanouira, comme étant composée d’éléments deux à deux égaux et de signes contraires ; et cela devait être, en effet, puisque $\mathrm {U}$ est une quantité réelle. Pour des angles $x$ suppléments l’un de l’autre, les angles $r_{i}$ le seront également, d’après les expressions de $\cos {r_{i}}$ et $\sin {r_{i}}$ ; la somme des deux valeurs de ${y-(m-n)x}$ qui leur correspondront, sera donc ${\mu \pi -(m-n)\pi }$ ou ${2n\pi }$, et conséquemment le cosinus de ${y-(m-n)x}$ ne changera pas : il en sera de même à l’égard des valeurs de $\mathrm {Y}$ ; en sorte que les éléments de la première intégrale définie, correspondants à $x$ et ${\pi -x}$, seront égaux, aussi bien que ceux qui répondent à $x$ et $-x$. En supprimant donc la deuxième intégrale, réduisant les limites de la première à zéro et ${{\tfrac {1}{2}}\pi }$, et quadruplant le résultat, nous aurons simplement

$\mathrm {U} ={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\mathrm {Y} \cos[y-(m-n)x]\,dx$.

(1)

L’intégration indiquée s’effectuera toujours sous forme finie, par les règles ordinaires. Mais quand $\mu$ ne sera pas un grand nombre, cette formule ne pourra être d’aucune utilité pour calculer la valeur de $\mathrm {U}$ ; quand, au contraire, ce nombre sera très grand, on déduira de cette formule, comme on va le voir, une valeur de $\mathrm {U}$ aussi approchée qu’on voudra.

(95). Chacun des facteurs de $\mathrm {Y}$ se réduit à l’unité pour ${x=0}$, et est moindre que l’unité pour toute autre valeur de $x$, comprise