ainsi que son développement, par
, et intégrant ensuite depuis
jusqu’à
, tous ces autres termes disparaîtront, et l’on aura simplement
![{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\mathrm {X} e^{-(m-n)x{\sqrt {-1}}}dx=2\pi \mathrm {U} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca58269222c46089c24a63ce42afa8fdadbfca8b)
;
ce qui résulte de ce que si
et
exprimant deux nombres entiers, positifs, négatifs ou zéro, dont le premier sera
, on aura
![{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }e^{i'x{\sqrt {-1}}}e^{-ix{\sqrt {-1}}}dx=\int _{-\pi }^{\pi }[\cos {(i'-i)x}+\sin {(i'-i')x}\,{\sqrt {-1}}]dx=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5739125374eed9bf2562729cf8d53fb41c0ba455)
,
quand
et
différeront l’un de l’autre, et, en particulier,
![{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }e^{ix{\sqrt {-1}}}e^{-ix{\sqrt {-1}}}dx=2\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4faf340cbf08bfb4ef422c3e240f36d41503c1a)
,
dans le cas de
.
Nous aurons, en même temps,
![{\displaystyle up_{i}+vq_{i}=\cos {x}+(p_{i}-q_{i})\sin {x}\,{\sqrt {-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2c2050570eeb44d90ef348fa2ae07664335a279)
;
et si nous faisons
![{\displaystyle \cos ^{2}{x}+(p_{i}-q_{i})^{2}\sin ^{2}{x}=\rho _{i}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77736af43bdc8f7248de3ef0322a535e3bf8549b)
,
il y aura un angle réel
, tel que l’on ait
![{\displaystyle {\frac {1}{\rho _{i}}}\cos {x}=\cos {r_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/142458f9f3cb8ae0f889fb45b8fb6eed98ed4618)
,
![{\displaystyle {\frac {1}{\rho _{i}}}(p_{i}-q_{i})\sin {x}=\sin {r_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95834429b6e83b7ea296a8d4ca85c7e773c7c134)
;
d’où il résultera
![{\displaystyle up_{i}+vq_{i}=\rho _{i}e^{r_{i}{\sqrt {-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/111cc250e5bdd4c0aaa7df76020156ff32c969e6)
.
Le signe
sera ambigu ; pour fixer les idées, nous regarderons cette quantité comme positive. En faisant, pour abréger,
![{\displaystyle \rho _{1}\rho _{2}\rho _{3}\ldots \rho _{\mu }=\mathrm {Y} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3972a5d27950d123225e010f9dba54930c3cd1a)
,
![{\displaystyle r_{1}+r_{2}+r_{3}+\ldots +r_{\mu }=y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/857e4cfc6062a877ea0d3b71e068551a213f1e28)
,