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ainsi que son développement, par$e^{-(m-n)x{\sqrt {-1}}}dx$, et intégrant ensuite depuis ${x=-\pi }$ jusqu’à ${x=\pi }$, tous ces autres termes disparaîtront, et l’on aura simplement

$\int _{-\pi }^{\pi }\mathrm {X} e^{-(m-n)x{\sqrt {-1}}}dx=2\pi \mathrm {U}$ ;

ce qui résulte de ce que si $i$ et $i'$ exprimant deux nombres entiers, positifs, négatifs ou zéro, dont le premier sera ${i=m-n}$, on aura

$\int _{-\pi }^{\pi }e^{i'x{\sqrt {-1}}}e^{-ix{\sqrt {-1}}}dx=\int _{-\pi }^{\pi }[\cos {(i'-i)x}+\sin {(i'-i')x}\,{\sqrt {-1}}]dx=0$,

quand $i$ et $i'$ différeront l’un de l’autre, et, en particulier,

$\int _{-\pi }^{\pi }e^{ix{\sqrt {-1}}}e^{-ix{\sqrt {-1}}}dx=2\pi$,

dans le cas de ${i'=i}$.

Nous aurons, en même temps,

$up_{i}+vq_{i}=\cos {x}+(p_{i}-q_{i})\sin {x}\,{\sqrt {-1}}$ ;

et si nous faisons

$\cos ^{2}{x}+(p_{i}-q_{i})^{2}\sin ^{2}{x}=\rho _{i}^{2}$,

il y aura un angle réel $r_{i}$, tel que l’on ait

${\frac {1}{\rho _{i}}}\cos {x}=\cos {r_{i}}$,${\frac {1}{\rho _{i}}}(p_{i}-q_{i})\sin {x}=\sin {r_{i}}$ ;

d’où il résultera

$up_{i}+vq_{i}=\rho _{i}e^{r_{i}{\sqrt {-1}}}$.

Le signe $\rho _{i}$ sera ambigu ; pour fixer les idées, nous regarderons cette quantité comme positive. En faisant, pour abréger,

$\rho _{1}\rho _{2}\rho _{3}\ldots \rho _{\mu }=\mathrm {Y}$,

$r_{1}+r_{2}+r_{3}+\ldots +r_{\mu }=y$,