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CHAPITRE IV.

Suite du calcul des probabilités qui dépendent de très grands nombres.

(94). Nous allons maintenant nous occuper des formules relatives aux chances variables ; ce qui nous conduira à démontrer les trois propositions générales énoncées dans les n^os 52 et 53, et dont nous avons conclu la loi des grands nombres.

Considérons une série de $\mu$ ou ${m+n}$ épreuves successives, pendant laquelle les chances des deux événements contraires E et F varient d’une manière quelconque. Désignons ces chances par $p_{1}$ et $q_{1}$ à la première épreuve, par $p_{2}$ et $q_{2}$ à la seconde, par $p_{\mu }$ et $q_{\mu }$ à la dernière ; de sorte qu’on ait

$p_{1}+q_{1}=1$,$p_{2}+q_{2}=1$,… $p_{\mu }+q_{\mu }=1$.

Appelons $\mathrm {U}$ la probabilité que E et F arriveront suivant un ordre quelconque, $m$ fois et $n$ fois. D’après la règle du n^o 20, $\mathrm {U}$ sera le coefficient de $u^{m}v^{n}$ dans le développement du produit

$(up_{1}+vq_{1})(up_{2}+vq_{2})\ldots (up_{\mu }+vq_{\mu })$.

Or, si l’on fait

$u=e^{x{\sqrt {-1}}}$,$v=e^{-x{\sqrt {-1}}}$,

le terme ${\mathrm {U} u^{m}v^{n}}$ de ce produit deviendra ${\mathrm {U} e^{(m-n)x{\sqrt {-1}}}}$, et tous les autres termes renfermeront des exponentielles différentes de $e^{(m-n)x{\sqrt {-1}}}$ ; d’où l’on conclut qu’en désignant ce produit par $\mathrm {X}$, en le multipliant,