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en représentant par $\alpha$ le nombre total des tirages. Si l’on suppose encore que $\alpha$ soit très grand, et si l’on appelle $j$ le nombre de ces $\alpha$ tirages dans lesquels les boules noires excéderont les blanches, la probabilité que $j$ se trouvera compris entre des limites données, sera la même, en vertu de la première proposition du n^o 52, que si toutes les chances $s$, $s'$, $s''$, etc., étaient égales entre elles et à leur moyenne $r$. Par conséquent, en mettant $\alpha$, $r$, ${1-r}$, au lieu de $\mu$, $q$, $p$, dans la formule (17), nous aurons

$\mathrm {R} =1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {1}{\sqrt {2\pi \alpha r(1-r)}}}e^{-u^{2}}$,

pour la probabilité que le nombre $j$ sera contenu entre les limites

$\alpha r\mp u{\sqrt {2\alpha r(1-r)}}$,

ou égal à l’une d’elles ; $u$ étant un petit nombre par rapport à $\textstyle {\sqrt {\alpha }}$.

Telle est la solution du problème que nous nous proposions de résoudre. L’application dont elle est susceptible se rapporte aux élections des députés dans un grand pays, comme la France, par exemple. Voici en quoi elle consiste.

Le nombre des électeurs, dans la France entière, est représenté par $c$ ; celui des électeurs qui ont une opinion, par $a$ ; celui des électeurs de l’opinion contraire, par $b$ ou ${c-a}$. On partage le nombre total $c$ en un nombre $\alpha$ de colléges électoraux, dont chacun élit un député, de telle sorte que le député élu dans un collége soit de la seconde ou de la première opinion, selon que le nombre des électeurs appartenant à l’une ou à l’autre y sera prépondérant. Cela étant, on demande la probabilité $\mathrm {R}$ que le nombre $j$ des députés qui appartiendront à la seconde opinion, sera compris entre des limites données, en supposant que le partage des électeurs en un nombre $\alpha$ de colléges, soit fait au hasard, c’est-à-dire en supposant qu’on prenne au hasard sur la liste générale, un nombre $\mu$ d’électeurs pour former un premier collége, un nombre $\mu '$ pour former un second collége, un autre nombre $\mu ''$ pour