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On trouvera de même

$\left({\frac {a(c-\mu )}{c(a-m)}}\right)^{\!a-m}\left({\frac {b(c-\mu )}{c(b-n)}}\right)^{\!b-n}=\left[1+{\frac {\theta ^{3}(a-b)c^{4}{\sqrt {c}}}{3(c-\mu )^{2}a^{2}b^{2}}}\right]e^{-{\frac {\theta ^{2}c^{3}}{2(c-\mu )ab}}}$ ;

équation qui se déduit aussi de la précédente par le changement de $m$, $n$, $\mu$, en ${a-m}$, ${b-n}$, ${c-\mu }$, et du signe de $\theta$. De là on conclut, au degré d’approximation où nous nous arrêtons,

$f(a,b,m,n)=\mathrm {H} \left[1-{\frac {\theta ^{3}(a-b)(c-2\mu )c^{5}{\sqrt {c}}}{3(c-\mu )^{2}\mu ^{2}a^{2}b^{2}}}\right]e^{-{\frac {\theta ^{2}c^{4}}{2(c-\mu )\mu ab}}}$ ;

ou bien, en faisant

$\theta ={\frac {t{\sqrt {2(c-\mu )\mu ab}}}{c^{2}}}$,

on aura, plus simplement

$f(a,b,m,n)=\mathrm {H} \left[1-{\frac {4t^{3}(a-b)(c-2\mu )}{3{\sqrt {2(c-\mu )\mu abc}}}}\right]e^{-t^{2}}$ ;

(28)

pour la chance d’amener les nombres $m$ et $n$ de boules blanches et de boules noires, exprimées par

$\left.{\begin{aligned}m&={\frac {\mu a}{c}}-{\frac {t{\sqrt {2(c-\mu )\mu abc}}}{c^{2}}},\\n&={\frac {\mu b}{c}}+{\frac {t{\sqrt {2(c-\mu )\mu abc}}}{c^{2}}}.\end{aligned}}\right\rbrace$

(29)

Selon que le nombre $\mu$ sera pair ou impair, la différence ${n-m}$ sera aussi paire ou impaire. Si l’on désigne par $i$ un nombre entier et positif, et qu’on représente l’excès de $n$ sur $m$ par $2i$ ou ${2i+1}$, l’expression correspondante de $t$ devra être, d’après ces équations (29),

$t=2i\delta +\gamma$,

en faisant, pour abréger,

${\frac {c^{2}}{2{\sqrt {2(c-\mu )\mu abc}}}}=\delta$,