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en supprimant le facteur ${\tfrac {\varphi (m,n)}{\varphi (a,b)}}$, commun à tous les termes de ses deux membres ; et comme $a$ et $b$ sont des nombres quelconques, on y pourra, si l’on veut, mettre ${a+n}$ et ${b+m}$ au lieu de $a$ et $b$ ; ce qui la changera en celle-ci

$\varphi (a,b)=\textstyle \sum \varphi (g,h)\,\varphi (a-g,b-h)$.

Or, son premier membre est le coefficient de ${x^{a}y^{b}}$, dans le développement de ${(x+y)^{c}}$ ; son second membre est le coefficient de ${x^{a}y^{b}}$, dans le produit des développements de ${(x+y)^{l}}$ et ${(x+y)^{c-l}}$, ou dans le développement de ${(x+y)^{c}}$, comme le premier membre ; par conséquent, les deux membres de cette équation sont identiques ; ce qu’il s’agissait de vérifier.

(91). Supposons actuellement que les nombres $a$, $b$, ${a-m}$, ${b-n}$, soient très grands ; les valeurs approchées de ${\varphi (m,n)}$, ${\varphi (a-m,b-n)}$, ${\varphi (a,b)}$, et ensuite celle de ${f(a,b,m,n)}$, se calculeront au moyen de la série (3) ; et si l’on réduit cette série à son premier terme, on en déduira une valeur de ${f(a,b,m,n)}$, que l’on pourra mettre sous la forme}}

$f(a,b,m,n)=\mathrm {H} \,\left({\frac {a\mu }{cm}}\right)^{\!m}\left({\frac {b\mu }{cn}}\right)^{\!n}\left({\frac {a(c-\mu )}{c(a-m)}}\right)^{\!a-m}\left({\frac {b(c-\mu )}{c(b-n)}}\right)^{\!b-n}$,

en faisant, pour abréger,

${\sqrt {\frac {ab\mu (c-\mu )}{2\pi cmn\,(a-m)\,(b-n)}}}=\mathrm {H}$.

Lorsque $m$ et $n$, et par conséquent aussi ${a-m}$ et ${b-n}$, seront entre eux comme $a$ et $b$, chacun des quatre derniers facteurs atteindra son maximum et aura l’unité pour valeur. Ils décroîtront très rapidement à mesure que $m$ et $n$ s’écarteront de ce rapport, et deviendront tout-à-fait insensibles, dès que le rapport ${\tfrac {m}{n}}$ ne différera plus très peu de ${\tfrac {a}{b}}$ ; en sorte qu’il suffira de considérer la probabilité