Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/253

tirages, aura pour expression ${f(a-g,b-h,m,n)}$ ; le produit de ces deux dernières fonctions sera donc la chance d’amener $m$ boules blanches et $n$ noires, après avoir déjà extrait de A, $g$ boules blanches et $h$ boules noires ; par conséquent, si l’on fait la somme des ${l+1}$ valeurs de ce produit, qui répondent à toutes les valeurs entières ou zéro de $g$ et $h$, dont la somme est $l$, on aura l’expression complète de la chance d’amener $m$ boules blanches et $n$ noires, après avoir extrait de A un nombre $l$ de boules quelconques. Cela étant, il s’agira de faire voir que cette chance est indépendante de $l$, et égale à ${f(a,b,m,n)}$, c’est à-dire de montrer que l’on a

$f(a,b,m,n)=\textstyle \sum f(a,b,g,h)f(a-g,b-h,m,n)$ ;

la somme $\textstyle \sum$ s’étendant depuis ${g=0}$ et ${h=l}$, jusqu’à ${g=l}$ et ${h=0}$.

Pour cela, j’observe qu’on a, d’après le n^o 18,

$f(a,b,m,n)={\frac {\varphi (m,n)\varphi (a-m,b-n)}{\varphi (a,b)}}$,

en faisant, pour abréger,

${\frac {1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots c}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots a\,{.}\,1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots b}}=\varphi (a,b)$,

relativement à des nombres quelconques $a$ et $b$, dont la somme est $c$.

Il en résultera

$f(a,b,g,h)f(a{-}g,b{-}h,m,n)={\frac {\varphi (g,h)\varphi (a{-}g,b{-}g)}{\varphi (a,b)}}\,{.}\,{\frac {\varphi (m,n)\varphi (a{-}g{-}m,b{-}h{-}n)}{\varphi (a{-}g,b{-}h)}}$,

ou, ce qui est la même chose,

$f(a,b,g,h)f(a-g,b-h,m,n)={\frac {\varphi (m,n)}{\varphi (a,b)}}\,{.}\,\varphi (g,h)\varphi (a-g-m,b-h-n)$ ;

au moyen de quoi, et de la valeur de ${f(a,b,m,n)}$, l’équation qu’il s’agit de vérifier deviendra

$\varphi (a-m,b-n)=\textstyle \sum \varphi (g,h)\,\varphi (a-g-m,b-h-n)$,