un nombre ou d’autres boules ; je dis que dans cette seconde opération, la probabilité d’amener boules blanches et boules noires, est indépendante du nombre et de la couleur des boules sorties dans la première, et la même que si était zéro.
En effet, supposons que l’on effectue les tirages successifs ; soient le nombre total des combinaisons différentes de boules qui pourront arriver, le nombre de ces combinaisons dans lesquelles les dernières boules se composeront de blanches et de noires, le nombre de celles dans lesquelles ce seront les premières boules qui en renfermeront blanches et noires ; la chance d’amener boules blanches et boules noires, après une extraction de boules quelconques, sera , et la chance d’amener boules blanches et boules noires, avant qu’aucune boule ait été extraite de A, aura pour valeur ; or, les deux nombres et sont égaux ; car, en général, une combinaison qui se compose de boules déterminées, suivies de boules aussi déterminées, et celle où ces dernières boules précèdent, au contraire, les premières, sont toutes deux également possibles ; et, en particulier, pour chaque combinaison dans laquelle les dernières des boules extraites de A renferment blanches et noires, il y a toujours une autre combinaison dans laquelle ce sont les premières boules qui contiennent ces nombres de blanches et de noires, et réciproquement. Les fractions et , et conséquemment les probabilités qu’elles expriment, sont donc aussi égales ; ce qu’il s’agissait de démontrer.
On peut vérifier cette proposition de la manière suivante.
Les nombres de boules blanches et de boules noires contenues dans A étant et , la chance d’amener boules blanches et noires dans les premiers tirages, est une fonction de , , , , que je représenterai par . Celle d’amener boules blanches et noires dans les premiers tirages sera de même ; ces tirages ayant réduit à et , les nombres de boules blanches et de boules noires que A renferme, la chance d’en extraire ensuite blanches et noires dans ou nouveaux
