Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/247

Soit actuellement

${\frac {(z-\delta )\mu \mu _{1}{\sqrt {\mu \mu _{1}}}}{\sqrt {2(\mu ^{3}m_{1}n_{1}+\mu _{1}^{3}mn)}}}=t$,${\frac {\mu \mu _{1}{\sqrt {\mu \mu _{1}}}\,dz}{\sqrt {2(\mu ^{3}m_{1}n_{1}+\mu _{1}^{3}mn)}}}=dt$ ;

faisons aussi

${\frac {(\varepsilon -\delta )\mu \mu _{1}{\sqrt {\mu \mu _{1}}}}{\sqrt {2(\mu ^{3}m_{1}n_{1}+\mu _{1}^{3}mn)}}}=\pm u$ ;

(25)

$u$ étant une quantité positive, et en prenant le signe supérieur ou le signe inférieur selon que l’on aura ${\varepsilon >\delta }$ ou ${\varepsilon <\delta }$. Les limites de l’intégrale relative à $t$ seront ${t=\pm u}$ et ${t=\infty }$ ; et si l’on observe que l’on a

$\int _{-u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}dt-\int _{-\infty }^{-u}e^{-t^{2}}dt={\sqrt {\pi }}-\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt$,

on en conclura finalement

$\lambda ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt$,$\lambda =1-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt$ ;

(26)

la première valeur ayant lieu quand la différence ${\varepsilon -\delta }$ sera positive, et la seconde, lorsque cette différence est négative.

On doit observer qu’ayant négligé le second terme de la formule (21), la probabilité du cas où la différence ${p_{1}-p}$ serait précisément égale à $\varepsilon$ se trouve aussi négligée ; en sorte que $\lambda$ est la probabilité qu’on a ${p_{1}-p>\varepsilon }$, et non pas qu’on ait ${p_{1}-p>\varepsilon }$, ou ${p_{1}-p=\varepsilon }$. Dans le cas de ${\varepsilon =\delta }$, la quantité $u$ est nulle, et les deux valeurs de $\lambda$ sont ${\lambda ={\tfrac {1}{2}}}$, c’est-à-dire, qu’il y a un contre un à parier que $p_{1}$ excède $p$ d’une quantité plus grande que $\delta$.

Les formules (26) serviront aussi à calculer la probabilité que la chance inconnue $p_{1}$ surpasse une fraction donnée. Pour cela, je fais, dans l’équation (25),

$\mu =\infty$,${\frac {m}{\mu }}=\omega$,$\delta ={\frac {m_{1}}{\mu _{1}}}-\omega$ ;