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l’un de ces nombres est très grand par rapport à l’autre. Dans le cas de ${\mu '=\mu }$, on a aussi à très peu près ${m'=m}$ et ${n'=n}$ ; ce qui réduit le coefficient de $u$ à ${\tfrac {2{\sqrt {mn}}}{\mu {\sqrt {\mu }}}}$. Si, au contraire, $\mu '$ est très grand relativement à $\mu$ ; à cause de ${m'={\tfrac {m\mu '}{\mu }}}$ et ${n'={\tfrac {n\mu '}{\mu }}}$, à très peu près, ce coefficient se réduira à ${\tfrac {\sqrt {2mn}}{\mu {\sqrt {\mu }}}}$, et sera moindre que le précédent, dans le rapport de l’unité à $\textstyle {\sqrt {2}}$.

(88). Généralement, les deux événements contraires E et F, dont les chances inconnues sont $p$ et $q$, étant arrivés les nombres de fois $m$ et $n$ dans le très grand nombre $\mu$ d’épreuves ; si deux autres événements contraires E₁ et F₁, dont les chances également inconnues seront désignées par $p_{1}$ et $q_{1}$, ont eu lieu des nombres de fois $m_{1}$ et $n_{1}$ dans un très grand nombre $\mu _{1}$ ou ${m_{1}+n_{1}}$ d’épreuves, et si les rapports ${\tfrac {m}{\mu }}$ et ${\tfrac {m_{1}}{\mu _{1}}}$ diffèrent considérablement l’un de l’autre, ce qui aura lieu aussi, pour ${\tfrac {n}{\mu }}$ et ${\tfrac {n_{1}}{\mu _{1}}}$, on devra regarder comme certain, ou à très peu près, que les chances $p$ et $p_{1}$ sont inégales, ainsi que $q$ et $q_{1}$. Mais quand les différences ${{\tfrac {m}{\mu }}-{\tfrac {m_{1}}{\mu _{1}}}}$ et ${{\tfrac {n}{\mu }}-{\tfrac {n_{1}}{\mu _{1}}}}$, sont de petites fractions, il est possible que les chances $p$ et $p_{1}$, $q$ et $q_{1}$, ne soient pas sensiblement inégales, et que les différences observées proviennent de ce que, dans les deux séries de $\mu$ et $\mu _{1}$ épreuves, les événements ne sont point arrivés rigoureusement en proportion de leurs chances respectives : il sera donc utile de déterminer, comme nous allons le faire, la probabilité d’une inégalité entre les chances inconnues $p$ et $p_{1}$, $q$ et $q_{1}$, correspondante à des différences données, peu considérables, égales et de signes contraires, entre les rapports ${\tfrac {m}{\mu }}$ et ${\tfrac {m_{1}}{\mu _{1}}}$, ${\tfrac {n}{\mu }}$ et ${\tfrac {n_{1}}{\mu _{1}}}$.

Je désigne, comme dans le n^o 84, par

$p={\frac {m}{\mu }}-{\frac {v}{\mu }}{\sqrt {\frac {2mn}{\mu }}}$,

une valeur de $p$ qui s’écarte peu de ${\tfrac {m}{\mu }}$, de sorte que $v$ soit une va-