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en faisant aussi

$\theta =t{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}$,$d\theta ={\sqrt {1+\gamma ^{2}}}dt$,$\beta =u{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}$.

En ayant égard à la valeur de $\gamma$, on verra que $\varphi$ exprime actuellement la probabilité que $n'$ sera compris entre les limites

${\frac {n\mu '}{\mu }}\pm {\frac {u{\sqrt {2(\mu ^{3}m'n'+\mu '^{3}mn)}}}{\mu {\sqrt {\mu \mu '}}}}$,

ou égal à la limite supérieure. Si l’on veut que cet intervalle des valeurs de $n'$ contienne aussi la limite inférieure, il faudra ajouter à $\varphi$ la probabilité que $n'$ sera précisément égal à cette limite ; laquelle probabilité sera donnée par la formule (23), en y faisant

$\alpha {\sqrt {\mu '}}={\frac {u{\sqrt {2(\mu ^{3}m'n'+\mu '^{3}mn)}}}{\mu {\sqrt {\mu \mu '}}}}$.

De cette manière, si l’on désigne par $\varpi$ la probabilité que le nombre $n'$ tombera entre les deux limites précédentes, ou sera égal à l’une ou à l’autre, on aura

$\varpi =1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {\sqrt {\mu \mu '}}{\sqrt {2\pi m'n'(\mu {+}\mu ')}}}e^{-{\frac {u^{2}(\mu ^{3}m'n'+\mu '^{3}mn)}{\mu ^{2}m'n'(\mu +\mu ')}}}$.

(24)

En comparant cette valeur de $\varpi$ à celle de $\mathrm {R}$ qui est donnée par la formule (20), on voit que ces deux probabilités ne diffèrent l’une de l’autre que par leurs derniers termes, et sont, en conséquence, à peu près égales. Mais quand le nombre $\mu '$ des épreuves futures n’est pas très petit par rapport au nombre $\mu$ des épreuves déjà faites, les termes ambigus des limites de $n'$ auxquelles répondent ces probabilités $\varpi$ et $\mathrm {R}$ ne sont pas les mêmes, et les limites dont $\varpi$ est la probabilité peuvent être beaucoup moins resserrées que celles dont la probabilité est $\mathrm {R}$.

En effet, si la probabilité $\varpi$ diffère peu de la certitude, on pourra, dans les limites auxquelles elle se rapporte, mettre pour $n'$ et $m'$ leurs