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Les intégrations relatives à $v$ s’effectueront sans difficulté, en sorte que la probabilité $\Pi '$ qu’il s’agissait de déterminer ne renfermera plus qu’une intégrale simple relative à $\theta$. À cause de

$\alpha =\pm {\frac {\beta {\sqrt {2m'n'}}}{\mu '}}$,

la première valeur de $\Pi '$ sera la probabilité que le nombre $n'$ n’excédera pas ${\textstyle {\frac {n\mu '}{\mu }}+\beta {\sqrt {\frac {2m'n'}{\mu '}}}}$, qui surpasse très peu ${\tfrac {n\mu '}{\mu }}$, et sa seconde valeur exprimera la probabilité que $n'$ n’excédera pas ${\textstyle {\frac {n\mu '}{\mu }}-\beta {\sqrt {\frac {2m'n'}{\mu '}}}}$, qui est un peu moindre que ${\tfrac {n\mu '}{\mu }}$.

(87). On peut remarquer qu’à raison des limites $\pm \infty$, relatives à $v$, les deux premières intégrales sont les mêmes dans les deux valeurs de $\Pi '$, et la troisième est la même au signe près. Il en résulte qu’en appelant $\varphi$ l’excès de la première valeur sur la seconde, on aura simplement

$\varphi =1-{\frac {2}{\pi }}\int _{\beta }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\theta ^{2}+2\gamma \theta v-(1+\gamma ^{2})v^{2}}d\theta dv$ ;

et cette quantité $\varphi$ sera la probabilité que le nombre $n'$ surpassera ${\textstyle {\frac {n\mu '}{\mu }}-\beta {\sqrt {\frac {2m'n'}{\mu '}}}}$, sans excéder ${\textstyle {\frac {n\mu '}{\mu }}+\beta {\sqrt {\frac {2m'n'}{\mu '}}}}$.

Si nous faisons

$v{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}-{\frac {\gamma \theta }{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}=z$,$dv={\frac {dz}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}$ ;

les limites relatives à la nouvelle variable $z$ seront toujours $\pm \infty$, et nous aurons

$\varphi =1-{\frac {2}{\sqrt {\pi (1+\gamma ^{2})}}}\int _{\beta }^{\infty }e^{-{\frac {\theta ^{2}}{1+\gamma ^{2}}}}d\theta$,

ou, ce qui est la même chose,

$\varphi =1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt$,