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ce qui coïncide, d’après ce que $\mathrm {U'}$ représente, avec le résultat qu’on a trouvé d’une autre manière dans le n^o 71.

(86). Pour le second exemple de l’application des formules (21) et (22), nous supposerons que $\Pi '$ soit la probabilité que la différence ${{\tfrac {n'}{\mu '}}-{\tfrac {n}{\mu }}}$ n’excédera pas la quantité ${\tfrac {\alpha }{\sqrt {\mu '}}}$ qu’elle devait atteindre dans l’exemple précédent.

La quantité $\Pi$ sera en fonction des chances $p$ et $q$ de E et F, la probabilité que dans les $\mu '$ épreuves futures, F n’arrivera pas plus d’un nombre $n'$ de fois, égal à ${\textstyle {\frac {n\mu '}{\mu }}+\alpha {\sqrt {\mu '}}}$ et que E aura lieu un nombre $m'$ de fois, au moins égal à ${\textstyle {\frac {m\mu '}{\mu }}-\alpha {\sqrt {\mu '}}}$. Sa valeur sera donc donnée par l’une ou l’autre des formules (15), en y mettant $\mu '$, $m'$, $n'$, au lieu de $\mu$, $m$, $n$. Pour ces valeurs extrêmes de $m'$ et $n'$, on aura

${\frac {n'}{m'+1}}={\frac {n}{m}}\left(1+{\frac {\alpha \mu ^{2}}{mn{\sqrt {\mu '}}}}\right)$,

en bornant toujours l’approximation aux quantités de l’ordre de petitesse de ${\tfrac {1}{\sqrt {\mu }}}$, ou de ${\tfrac {1}{\sqrt {\mu '}}}$. D’après les valeurs de $p$ et $q$ du numéro précédent, on aura, en même temps,

${\frac {q}{p}}={\frac {n}{m}}\left(1+v{\sqrt {\frac {2\mu }{mn}}}\right)$ ;

si donc on limite la variable $v$ de manière qu’on ait

$v<{\frac {\alpha \mu ^{2}}{\sqrt {2\mu \mu 'mn}}}$,

abstraction faite du signe, on aura ${\textstyle {\frac {q}{p}}<{\frac {n'}{m'+1}}}$, ou ${\textstyle {\frac {q}{p}}>{\frac {n'}{m'+1}}}$, selon que la constante $\alpha$ sera positive ou négative ; par conséquent,