Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/234

valeurs de $p$ et $q$ qui s’écartent beaucoup de ${\tfrac {m}{\mu }}$ et ${\tfrac {n}{\mu }}$ ; par conséquent, si l’on met dans $\Pi$ les valeurs précédentes de $p$ et $q$, on aura simplement

$\Pi '=\textstyle \int \Pi \mathrm {V} dv$,

(22)

en étendant l’intégrale aux valeurs positives ou négatives de $v$, mais très petites par rapport à $\textstyle {\sqrt {\mu }}$.

Ce résultat s’accorde avec celui qui a été obtenu plus directement, dans le second paragraphe de mon mémoire sur la proportion des naissances des deux sexes.

(85). Pour donner une première application des formules (21) et (22), je suppose que $\Pi '$ soit la probabilité que dans un très grand nombre $\mu '$ ou ${m'+n'}$ de nouvelles épreuves, les événements E et F auront lieu des nombres de fois $m'$ et $n'$ qui seront entre eux, à très peu près, comme les nombres de fois $m$ et $n$ qu’ils sont arrivés dans les $\mu$ épreuves déjà faites ; ou, autrement dit, je suppose qu’on doive avoir

$m'=mh-\alpha {\sqrt {\mu '}}$,$n'=nh+\alpha {\sqrt {\mu '}}$,$\mu '=\mu h$ ;

$h$ et $\alpha$ étant des quantités données, dont la seconde pourra être positive ou négative, mais sera très petite par rapport à $\textstyle {\sqrt {\mu '}}$.

D’après la formule (6), et en faisant

$\mathrm {U'} ={\sqrt {\frac {\mu '}{2\pi m'n'}}}$,

nous aurons

$\Pi =\mathrm {U'} \,\left({\frac {\mu 'p}{m'}}\right)^{\!m'}\left({\frac {\mu 'q}{n'}}\right)^{\!n'}$,

où l’on peut déjà remarquer que $\mathrm {U'}$ serait la probabilité de l’événement E′ que nous considérons, si ${\tfrac {m}{\mu }}$ et ${\tfrac {n}{\mu }}$ étaient les valeurs exactes et certaines des chances $p$ et $q$ de E et F, et que l’on eût ${\alpha =0}$. D’ailleurs, à cause de

${\frac {m'}{\mu '}}={\frac {m}{\mu }}-{\frac {\alpha }{\sqrt {\mu '}}}$,${\frac {n'}{\mu '}}={\frac {n}{\mu }}+{\frac {\alpha }{\sqrt {\mu '}}}$,