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et qu’on fasse

$\mathrm {V} ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-v^{2}}-{\frac {2\,(m-n)\,v^{3}}{3{\sqrt {2\pi \mu mn}}}}e^{-v^{2}}$,

(21)

on aura ${\mathrm {V} dv}$ pour la probabilité de

$q={\frac {n}{\mu }}+{\frac {v}{\mu }}{\sqrt {\frac {2mn}{\mu }}}$ ;

à cause de ${p=1-q}$ et ${m=\mu -n}$, cette probabilité infiniment petite sera, en même temps, celle de

$p={\frac {m}{\mu }}-{\frac {v}{\mu }}{\sqrt {\frac {2mn}{\mu }}}$.

Cette quantité $\mathrm {V}$ décroît, comme on voit, très rapidement à mesure que $v$ augmente ; et avant que cette variable ait acquis une grandeur comparable à $\textstyle {\sqrt {\mu }}$, celle de $\mathrm {V}$ peut être extrêmement petite à raison du facteur $\textstyle e^{-v^{2}}$. Si l’on exprime de la même manière au moyen de cette variable, les valeurs de $p$ et $q$ très différentes de ${\tfrac {m}{\mu }}$ et ${\tfrac {n}{\mu }}$, et que l’on représente par ${\mathrm {V'} dv}$ leur probabilité ; $\mathrm {V'}$ sera une fonction de $v$, différente de $\mathrm {V}$, dont les valeurs numériques seront encore beaucoup moindres que celles de $\mathrm {V}$ qui répondent à la limite où peut s’étendre la formule (21). On pourra donc regarder ces valeurs de $\mathrm {V'}$ comme étant tout-à-fait insensibles ; ce qui nous dispensera de chercher l’expression de cette quantité $\mathrm {V'}$ en fonction de $v$.

Cela posé, soit E′ un événement futur, composé de E et F ; désignons par $\Pi$ la probabilité de E′ qui aurait lieu si les chances de E et F avaient des valeurs certaines, de sorte que $\Pi$ soit une fonction donnée de $p$ et $q$ ; désignons aussi par $\Pi '$ la probabilité véritable de E′, en ayant égard à celle des valeurs quelconques de $p$ et $q$ que l’on substituera dans $\Pi$ : en multipliant $\Pi$ par cette probabilité infiniment petite de $p$ et $q$, et intégrant ensuite le produit depuis ${p=0}$ et ${q=1}$ jusqu’à ${p=1}$ et ${q=0}$, on aura l’expression de $\Pi '$. Mais, d’après ce qu’on vient de dire, on pourra négliger la partie de cette intégrale qui répond aux