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aura une probabilité $\mathrm {R}$ , toujours croissante avec le nombre $\mu$ , que A gagnera de plus que B, un nombre ${\textstyle \mu \,(p-q)\pm 2u{\sqrt {2\mu pq}}}$ ; et comme le terme ${\mu \,(p-q)}$ , qui résulte de la différence d’habileté des deux joueurs, croît proportionnellement au nombre des parties, tandis que le terme ambigu croît seulement dans le rapport de la racine carrée de ce nombre, il s’ensuit que le joueur le plus habile, ou qui a le plus de chance à chaque partie, finira toujours par l’emporter sur l’autre, quelque petite que soit la différence ${p-q}$ .

(83). Dans ce qui précède, nous avons supposé connues les chances $p$ et $q$ des événements E et F, et nous avons déterminé, avec une grande probabilité et une grande approximation, les rapports ${\tfrac {m}{\mu }}$ et ${\tfrac {n}{\mu }}$ , quand le nombre $\mu$ des épreuves est très grand. Réciproquement, lorsque ces chances ne seront pas données à priori, et que les rapports ${\tfrac {m}{\mu }}$ et ${\tfrac {n}{\mu }}$ auront été observés, les formules que nous avons trouvées feront connaître les valeurs très probables et très approchées des inconnues $p$ et $q$ . Ainsi, il y aura la probabilité $\mathrm {R}$ , donnée par la formule (17), que la chance $p$ de E est comprise entre les limites ${\textstyle {\frac {m}{\mu }}\pm u{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}}$ . Si $\mathrm {R}$ diffère très peu de l’unité, la fraction $p$ sera donc à très peu près et très probablement égale à ${\tfrac {m}{\mu }}$ , et $q$ à ${\tfrac {n}{\mu }}$ ; en mettant donc ${\tfrac {m}{\mu }}$ et ${\tfrac {n}{\mu }}$ à la place de $p$ et $q$ dans le terme ambigu de ces limites et dans le dernier terme de la formule (17), qui ont déjà ${\textstyle {\sqrt {\mu }}}$ pour diviseur, il en résultera

\mathrm {R} =1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\sqrt {\frac {\mu }{2\pi mn}}}e^{-u^{2}}

,

(19)

pour la probabilité que la chance $p$ de E est comprise entre les limites

{\frac {m}{\mu }}\pm {\frac {u}{\mu }}{\sqrt {\frac {2mn}{\mu }}}

.

Lorsque $m$ , $n$ , $\mu$ , seront de très grands nombres, on pourra, en général, se servir des valeurs approchées ${\tfrac {m}{\mu }}$ et ${\tfrac {n}{\mu }}$ de $p$ et $q$ , pour calculer la