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En désignant par $a$ la valeur de $u$ qui satisfait à cette équation, abstraction faite du deuxième terme de son second membre, nous aurons ensuite

$u=a-{\frac {1}{2{\sqrt {2\mu pq}}}}$,

aux quantités près de l’ordre de petitesse de ${\tfrac {1}{\mu }}$. Après quelques essais, on trouve ${a=0{,}4765}$ pour la valeur approchée de $a$ ; d’où il résulte qu’il sera également probable que la différence ${{\tfrac {m}{\mu }}-p}$ tombera en dehors ou en dedans des limites

$\pm \left(0{,}4765\,{.}\,{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}-{\frac {1}{2\mu }}\right)$.

Pour une valeur quelconque de $u$, il y a la probabilité $\mathrm {R}$ que la différence des deux quantités ${{\tfrac {m}{\mu }}-p}$ et ${{\tfrac {n}{\mu }}-q}$, aura pour limite le double de ${\textstyle \pm u{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}}$ ; si donc on a ${p=q={\tfrac {1}{2}}}$, il y aura une probabilité égale à ${\tfrac {1}{2}}$ que la quantité ${\tfrac {m-n}{\mu }}$, sera comprise entre les limites

$\pm \left({\frac {0{,}6739}{\sqrt {\mu }}}-{\frac {1}{\mu }}\right)$ ;

par conséquent, lorsque les événements E et F ont la même chance, il sera également probable que la différence ${m-n}$ entre les nombres de fois qu’ils arriveront, surpassera ${\textstyle 0{,}6739\,{.}\,{\sqrt {\mu }}-1}$, ou sera moindre, abstraction faite du signe.

Ainsi, quand deux joueurs A et B jouent l’un contre l’autre à jeu égal, un très grand nombre de parties, un million par exemple, il y a un contre un à parier que l’un d’eux, sans dire lequel, gagnera 674 parties de plus que l’autre. C’est dans cette différence qui peut également favoriser les deux joueurs, que consiste la part du hasard. Mais si, à chaque partie, la chance $p$ de A surpasse la chance $q$ de B, il y