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épreuve, n’arrivera pas plus de dix fois, dans le nombre $\mu$ d’épreuves.

(82). L’intégrale contenue dans la formule (17) se calculera, en général, par la méthode des quadratures. On trouve à la fin de l’Analyse des réfractions astronomiques de Kramp, une table de ses valeurs qui s’étend depuis ${u=0}$, jusqu’à ${u=3}$, et d’après laquelle, on a

$\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt=$ 0,00001957729…,

pour ${u=3}$. Au moyen de l’intégration par partie, on trouve

$\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt={\frac {e^{-u^{2}}}{2u}}\left(1-{\frac {1}{2u^{2}}}+{\frac {1\,{.}\,3}{2^{2}u^{4}}}-{\frac {1\,{.}\,3\,{.}\,5}{2^{3}u^{6}}}+{\text{etc.}}\right)$ ;

pour ${u>3}$, la série comprise entre les parenthèses, sera suffisamment convergente, du moins dans ses premiers termes, et cette formule pourra servir à calculer les valeurs de l’intégrale. On a aussi

$\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}-\int _{0}^{u}e^{-t^{2}}dt$ ;

et en développant l’exponentielle $e^{-t^{2}}$ suivant les puissances de $t^{2}$, on aura

$\int _{0}^{u}e^{-t^{2}}dt=u-{\frac {u^{3}}{1\,{.}\,3}}+{\frac {u^{5}}{1\,{.}\,2\,{.}\,5}}-{\frac {u^{7}}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\,{.}\,7}}+{\text{etc.}}$ ;

série qui sera très convergente pour les valeurs de $u$ moindres que l’unité.

Si l’on veut calculer la valeur de $u$ pour laquelle on a ${\mathrm {R} ={\tfrac {1}{2}}}$, on fera usage de cette dernière série ; et d’après l’équation (17) on aura

$u-{\frac {u^{3}}{1\,{.}\,3}}+{\frac {u^{5}}{1\,{.}\,2\,{.}\,5}}-{\frac {u^{7}}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\,{.}\,7}}+{\text{etc.}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\pi }}-{\frac {e^{-u^{2}}}{2{\sqrt {2\mu pq}}}}$.