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et négligeant ensuite la fraction ${\frac {n}{\mu }}$, la quantité contenue entre les parenthèses, dans cette formule, deviendra

$1+\omega +{\frac {\omega ^{2}}{1\,{.}\,2}}+{\frac {\omega ^{3}}{1\,{.}\,2\,{.}\,3}}+\ldots +{\frac {\omega ^{n}}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n}}$.

En même temps, on aura

$p=1-{\frac {\omega }{\mu }}$,$p^{m}=\left(1-{\frac {\omega }{\mu }}\right)^{\!\mu }\left(1-{\frac {\omega }{\mu }}\right)^{\!-n}$ ;

on pourra remplacer par l’exponentielle $e^{-\omega }$, le premier facteur de cette valeur de $p^{m}$, et réduire le second à l’unité ; par conséquent, d’après l’équation (9), nous aurons, à très peu près,

$\mathrm {P} =\left(1+\omega +{\frac {\omega ^{2}}{1\,{.}\,2}}+{\frac {\omega ^{3}}{1\,{.}\,2\,{.}\,3}}+\ldots +{\frac {\omega ^{n}}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n}}\right)e^{-\omega }$,

pour la probabilité qu’un événement dont la chance à chaque épreuve est la fraction très petite ${\tfrac {\omega }{\mu }}$, n’arrivera pas plus de $n$ fois dans un très grand nombre $\mu$ d’épreuves.

Dans le cas de ${n=0}$, cette valeur de $\mathrm {P}$ se réduit à $e^{-\omega }$ ; il y a donc cette probabilité $e^{-\omega }$ que l’événement dont il s’agit n’arrivera pas une seule fois dans le nombre $\mu$ d’épreuves, et conséquemment, la probabilité ${1-e^{-\omega }}$ qu’il arrivera au moins une fois, ainsi qu’on l’a déjà vu dans le n^o 8. Dès que $n$ ne sera plus un très petit nombre, la valeur de $\mathrm {P}$ différera très peu de l’unité, comme on le voit, en observant que l’expression précédente de $\mathrm {P}$ peut être écrite sous la forme

$\mathrm {P} =1-{\frac {\omega ^{n+1}e^{-\omega }}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n+1}}\left(1+{\frac {\omega }{n+2}}+{\frac {\omega ^{2}}{n+2\,{.}\,n+3}}+{\text{etc.}}\right)$.

Si l’on a, pas exemple, ${\omega =1}$, et qu’on suppose ${n=10}$, la différence ${1-\mathrm {P} }$ sera à peu près un cent-millionième, de sorte qu’il est presque certain qu’un événement dont la chance très faible est ${\frac {1}{\mu }}$ à chaque